Vous vous souvenez probablement d’une époque où vous avez utilisé les mathématiques pour résoudre un problème quotidien, comme calculer un pourboire dans un restaurant ou déterminer la superficie d’une pièce. Mais quel rôle les mathématiques jouent-elles dans la résolution de problèmes complexes comme guérir une maladie ?
Dans mon travail de mathématicien appliquéj’utilise des outils mathématiques pour étudier et résoudre des problèmes complexes en biologie. J’ai travaillé sur des problèmes impliquant des réseaux génétiques et neuronaux tels que interactions entre cellules et prise de décision. Pour ce faire, je crée des descriptions d’une situation du monde réel en langage mathématique. L’acte de transformer une situation en représentation mathématique s’appelle la modélisation.
Traduire des situations réelles en termes mathématiques
Si vous avez déjà résolu un problème arithmétique sur la vitesse des trains ou le coût des courses, c’est un exemple de modélisation mathématique. Mais pour les questions plus difficiles, même simplement écrire le scénario du monde réel sous forme de problème mathématique peut s’avérer compliqué. Ce processus nécessite beaucoup de créativité et compréhension du problème à résoudre et est souvent le résultat de la collaboration de mathématiciens appliqués avec des scientifiques d’autres disciplines.
A titre d’exemple, nous pourrions représenter un jeu de Sudoku comme un modèle mathématique. Dans Sudoku, le joueur remplit des cases vides dans un puzzle avec des nombres compris entre 1 et 9 sous réserve de certaines règles, comme l’interdiction de répéter les nombres dans une ligne ou une colonne.
Le puzzle commence avec quelques cases pré-remplies, et le but est de déterminer quels nombres vont dans le reste des cases.
Imaginez qu’une variable, disons x, représente le nombre qui figure dans l’une de ces cases vides. On peut garantir que x est compris entre 1 et 9 en disant que x résout l’équation (x-1)(x-2) … (x-9)=0. Cette équation n’est vraie que lorsque l’un des facteurs du côté gauche est nul. Chacun des facteurs du côté gauche est nul uniquement lorsque x est un nombre compris entre 1 et 9 ; par exemple, (x-1)=0 lorsque x=1. Cette équation code un fait concernant notre jeu de Sudoku, et nous pouvons encoder les autres fonctionnalités du jeu de la même manière. Le modèle de Sudoku résultant sera un ensemble d’équations avec 81 variables, une pour chaque case du puzzle.
Une autre situation que nous pourrions modéliser est la concentration d’un médicament, par exemple l’aspirine, dans le sang d’une personne. Dans ce cas, nous serions intéressés par la façon dont la concentration change à mesure que nous ingérons de l’aspirine et que le corps la métabolise. Tout comme avec le Sudoku, on peut créer un ensemble d’équations qui décrivent comment la concentration d’aspirine évolue au fil du temps et comment une ingestion supplémentaire affecte la dynamique de ce médicament. Cependant, contrairement au Sudoku, les variables qui représentent les concentrations ne sont pas statiques mais changent au fil du temps.
Mais l’acte de modéliser n’est pas toujours aussi simple. Comment modéliserions-nous des maladies telles que le cancer ? Est-il suffisant de modéliser la taille et la forme d’une tumeur, ou devons-nous modéliser chaque vaisseau sanguin à l’intérieur de la tumeur ? Chaque cellule ? Chaque produit chimique dans chaque cellule ? Il y a beaucoup de choses inconnues sur le cancer, alors comment pouvons-nous modéliser des caractéristiques aussi inconnues ? Est-ce même possible ?
Les mathématiciens appliqués doivent trouver un équilibre entre des modèles suffisamment réalistes pour être utiles et suffisamment simples pour être mis en œuvre. La construction de ces modèles peut prendre plusieurs années, mais en collaboration avec des scientifiques expérimentaux, le fait d’essayer de trouver un modèle fournit souvent un nouvel aperçu du problème du monde réel.
Les modèles mathématiques aident à trouver de vraies solutions
Après avoir écrit un problème mathématique pour représenter une situation, la deuxième étape du processus de modélisation consiste à résoudre le problème.
Pour le Sudoku, nous devons résoudre une collection d’équations avec 81 variables. Pour l’exemple de l’aspirine, nous devons résoudre une équation qui décrit le taux de changement des concentrations. C’est là qu’entrent en jeu toutes les mathématiques qui ont été et sont encore inventées. Domaines des mathématiques pures tels que l’algèbre, l’analyse, combinatoire et bien d’autres peuvent être utilisés – dans certains cas combinés – pour résoudre des problèmes mathématiques complexes découlant des applications des mathématiques au monde réel.
La troisième étape du processus de modélisation consiste à traduire la solution mathématique en solution au problème appliqué. Dans le cas du Sudoku, la solution des équations nous indique quel numéro doit figurer dans chaque case pour résoudre le puzzle. Dans le cas de l’aspirine, la solution serait un ensemble de courbes qui nous indiqueraient la concentration d’aspirine dans le système digestif et dans le sang. C’est ainsi que fonctionnent les mathématiques appliquées.
Quand créer un modèle ne suffit pas
Ou est-ce ? Bien que ce processus en trois étapes constitue le processus idéal des mathématiques appliquées, la réalité est plus compliquée. Une fois que j’atteins la deuxième étape où je veux la solution du problème mathématique, très souvent, sinon la plupart du temps, il s’avère que personne ne sait comment résoudre le problème mathématique dans le modèle. Dans certains cas, les mathématiques pour étudier le problème n’existe même pas.
Par exemple, il est difficile d’analyser des modèles de cancer car les interactions entre gènes, protéines et produits chimiques ne sont pas aussi simples que les relations entre les cases dans un jeu de Sudoku. La principale difficulté réside dans le fait que ces interactions sont « non linéaires », ce qui signifie que l’effet de deux entrées n’est pas simplement la somme des effets individuels. Pour résoudre ce problème, j’ai travaillé sur de nouvelles façons d’étudier les systèmes non linéaires, tels que Théorie des réseaux booléens et algèbre polynomiale. Avec cette approche et les approches traditionnelles, mes collègues et moi avons étudié des questions dans des domaines tels que prise de décision, réseaux de gènes, différenciation cellulaire et régénération des membres.
Lorsqu’on aborde des problèmes de mathématiques appliquées non résolus, la distinction entre mathématiques appliquées et mathématiques pures disparaît souvent. Des domaines qui étaient autrefois considérés comme trop abstraits sont exactement ce dont nous avons besoin pour résoudre les problèmes modernes. Cela met en évidence l’importance des mathématiques pour nous tous ; Les domaines actuels des mathématiques pures peuvent devenir les mathématiques appliquées de demain et constituer les outils nécessaires pour résoudre des problèmes complexes du monde réel.
Cet article est republié à partir de La conversation sous licence Creative Commons. Lire le article original.