Des chercheurs de l’Université des sciences et technologies de Hong Kong, de l’Université Xiangtan et de l’Université des sciences et technologies du Sud ont récemment dévoilé un lien possible entre la théorie des catastrophes, un domaine des mathématiques qui se concentre sur la modélisation des changements soudains (c’est-à-dire les catastrophes) et la physique non hermitienne. Leur article, publié dans Physique naturellemontre spécifiquement qu’une dégénérescence structurellement riche, connue sous le nom de catastrophe du machaon, peut exister naturellement dans les systèmes non hermitiens.
« Notre travail a été inspiré par des recherches antérieures qui utilisaient la théorie de l’homotopie pour classer les singularités topologiques, une technique qui a été utilisée pour étudier les défauts des cristaux liquides tels que les désinclinaisons et les dislocations », a déclaré Hongwei Jia, l’un des chercheurs qui a mené l’étude. Phys.org. « La théorie de l’homotopie a également été appliquée à la théorie des bandes étudier la topologie des bandes non abéliennes. En nous appuyant sur ces travaux antérieurs, nous avons cherché à étendre l’approche pour comprendre les singularités (manifestées par des dégénérescences appelées points exceptionnels) dans les systèmes non hermitiens. »
Essentiellement, Jia, Chan et leurs collègues ont entrepris d’appliquer le concept d’une rotation de cadre de vecteur propre le long d’une boucle encerclant une singularité (c’est-à-dire le point auquel une fonction « saute » ou « s’effondre ») à des systèmes non hermitiens. Alors que dans d’autres études récentes sur les systèmes hermitiens, les vecteurs propres étaient réels et orthogonaux, formant la base orthonormée d’un espace euclidien, l’application de cette rotation de cadre de vecteur propre à des systèmes non hermitiens pose une série de défis.
« Dans ces systèmes non hermitiens, les vecteurs propres ne sont pas orthogonaux, car la relation orthogonale des vecteurs propres est définie par un produit interne indéfini de type Minkowski. Ainsi, le long d’un chemin fermé, le cadre du vecteur propre non seulement tourne mais se déforme également. En particulier, lorsque le chemin rencontre des surfaces exceptionnelles, les vecteurs propres fusionnent », a expliqué Jia.
« Cela pose un sérieux problème car les boucles homotopiques conventionnelles ne coupent jamais à travers les dégénérescences. Mais cela ne peut être évité dans notre cas, car les lignes de dégénérescence considérées sont entièrement encastrées sur des surfaces exceptionnelles. En abordant ces difficultés mathématiquement difficiles, nous avons demandé l’aide du mathématicien Yifei Zhu. Cette collaboration entre physiciens et mathématiciens a abouti à de nouvelles connaissances sur les propriétés topologiques des singularités dans les systèmes non hermitiens. »
En collaboration avec Zhu, Jia, Chan et leurs collègues ont entrepris d’explorer l’occurrence de dégénérescences, appelées surfaces exceptionnelles, singularités isolées et non isolées, dans des systèmes non hermitiens, et la dépendance de ces dégénérescences à la symétrie. Pour y parvenir, ils ont suivi les zéros dans le discriminant du polynôme caractéristique des matrices hamiltoniennes sous des symétries spécifiques dans l’espace des paramètres.
« Nous avons mené de nombreuses expériences mathématiques en utilisant divers outils tels que des logiciels mathématiques, des modèles papier et l’impression 3D », a déclaré Jia. « En analysant des exemples explicites d’hamiltoniens avec des symétries spécifiques, nous avons découvert que l’occurrence de cette caractéristique de singularité est universelle dans les systèmes non hermitiens avec nos symétries choisies. Nous avons également démontré qu’il peut y avoir des lignes exceptionnelles d’ordre trois (EL3) aux cuspides de des surfaces exceptionnelles, des lignes d’intersection non défectueuses (NIL) où les surfaces exceptionnelles se croisent transversalement, et des lignes nodales (NL) isolées des surfaces exceptionnelles. »
Les expériences et les calculs effectués par Jia et ses collègues ont donné plusieurs résultats intéressants. Premièrement, l’équipe a découvert que les lignes de dégénérescence distinctes qu’ils ont observées peuvent toujours être connectées de manière stable à un seul point de rencontre et que cette structure unique est protégée par la symétrie.
« Nous avons observé que les surfaces exceptionnelles se croisent dans une configuration en queue d’aronde, qui rappelle la catastrophe en queue d’aronde en mathématiques et en théorie des catastrophes (en particulier dans la classification ADE) », a déclaré Jia. « Cependant, il existe des différences notables entre notre cas et la catastrophe du machaon dans la classification ADE, car cette dernière est décrite en examinant le lieu des racines multiples d’un polynôme quartique alors que le nôtre découle des symétries que nous étudions qui codent les informations sur les évolutions des vecteurs propres. »
Les travaux récents de cette équipe de chercheurs établissent un lien entre la théorie mathématique des catastrophes et la physique non hermitienne, deux domaines d’étude qui étaient auparavant perçus comme sans rapport. À l’aide de méthodes homotopiques, l’équipe a tenté d’acquérir une compréhension topologique des singularités non isolées dans les systèmes non hermitiens.
Jia et ses collègues ont finalement dévoilé plusieurs nouvelles transitions intéressantes qui se produisent dans la structure en queue d’aronde de la catastrophe qu’ils ont observée. Notamment, ces phénomènes de transition contre-intuitifs sont protégés d’une manière que les recherches précédentes n’avaient pas encore identifiée.
« Ce travail est le résultat d’une collaboration entre moi-même et mon collègue physicien Che Ting Chan et mathématicien Yifei Zhu », a déclaré Jia. « L’introduction de la théorie de l’homotopie d’intersection par Yifei est cruciale pour résoudre le problème. Nous avons combiné notre théorie de la déformation et de la rotation du cadre propre avec l’homotopie d’intersection, et avons démontré avec succès que le phénomène de transition intéressant dans un machaon est topologiquement protégé. Nous pensons qu’il peut y avoir être d’autres phénomènes physiques intéressants à découvrir dans ces plateformes. Nos connaissances complémentaires nous permettront d’explorer davantage ce domaine de recherche inexploré.
La catastrophe du machaon que Jia et ses collègues ont observée dans les bandes non hermitiennes est un type entièrement nouveau de phase topologique sans interruption. Des examens plus approfondis de cette phase pourraient potentiellement dévoiler de nouveaux phénomènes et effets physiques. Les chercheurs mènent actuellement des études axées sur deux phénomènes intrigants, dont le premier est la correspondance volume-bord dans ce nouveau type de phase sans interruption.
« Nous explorons si les phases sans interruption inhérentes à une structure en queue d’aronde peuvent également prendre en charge les états de bord topologiques », a déclaré Jia. « Le deuxième phénomène que nous explorons est l’arc de Fermi en vrac non conventionnel qui relie la paire de lignes exceptionnelles d’ordre trois à des cuspides appariées. »
En plus d’informer les futures études de physique, les découvertes recueillies par cette équipe de chercheurs pourraient conduire à de nouvelles recherches dans le domaine des mathématiques. Jia et ses collègues estiment que la composante mathématique de leur travail est encore ad hoc et incomplète, et ils prévoient de la développer davantage dans leurs prochains travaux.
« En théorie, bien que les objets d’étude puissent déjà être formulés purement mathématiquement (dans la classification ADE), cette formulation ne donne que la structure apparemment comparable, alors que les caractéristiques sous-jacentes sont assez différentes du cas actuel », a expliqué Jia. « Par exemple, le point de rencontre du machaon dans la classification ADE est un point exceptionnel d’ordre quatre, mais celui du machaon actuel est une triple dégénérescence offrant deux états propres linéairement indépendants.
« Ce serait un véritable défi et une opportunité de mettre la main sur des structures mathématiquement systématiques, physiquement significatives et expérimentalement réalisables sous cette pointe d’iceberg. Nous pensons également que la méthode algébrique, intersection homotopie/homologie, devrait être développée davantage, car elle est un outil puissant pour comprendre de telles singularités non isolées à la fois en physique et en mathématiques. »
Plus d’information:
Jing Hu et al, Catastrophe machaon non hermitienne révélant des transitions entre diverses singularités topologiques, Physique naturelle (2023). DOI : 10.1038/s41567-023-02048-w
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