Au cours des dernières décennies, l’utilisation d’équations de modélisation de champ de phase pour la modélisation mathématique a progressé. La séparation de phase a été largement étudiée en thermodynamique et en génie des matériaux, mais le domaine biologique a également commencé à s’intéresser à ce phénomène.
L’ équation d’ Allen – Cahn ( équation AC ) est l’une de ces équations de réaction-diffusion, utilisée pour étudier l’évolution des interfaces de champ de phase non conservées séparant différentes régions physiques. Introduit à l’origine pour modéliser le mouvement de formation du domaine anti-phase (défaut cristallographique) dans un alliage binaire, il est maintenant largement utilisé depuis le traitement de la segmentation géométrique de l’image jusqu’à l’étude de la croissance cristalline.
Parallèlement à ces développements, plusieurs nouveaux opérateurs pour l’équation AC (tels que le Laplacien fractionnaire et le p-Laplacien) ont également été proposés. Le p-Laplacien, par exemple, apparaît dans les modèles mathématiques de processus physiques tels que la diffusion non linéaire. Cependant, malgré une large applicabilité, on sait peu de choses sur l’influence des opérateurs laplaciens, en particulier le p-laplacien, sur les solutions de l’équation d’Allen-Cahn.
Récemment, une équipe de chercheurs coréens, dont le professeur Dongsun Lee de l’Université nationale d’Incheon, a étudié la dynamique de l’équation p-Laplacien AC (p-AC). L’étude visait spécifiquement à examiner comment le type de Laplacien influence une solution à l’équation AC. Cet article a été publié en Mathématiques appliquées et calcul.
Expliquant la raison d’être de cette étude, le professeur Lee déclare : « Nous considérons trois critères lorsque nous modélisons avec des équations de champ de phase. Il s’agit notamment de l’évolution de la séparation de phase, de la loi de dissipation d’énergie et de la non-conservation de la masse. Notre étude numérique a été tournait autour de ces propriétés de base de l’équation AC. »
Les chercheurs ont d’abord caractérisé les différents changements morphologiques des solutions numériques sous divers tests numériques (comme la séparation de phase, le profil d’équilibre, la délimitation, la dissipation d’énergie totale, les solutions d’ondes progressives, les mouvements géométriques et la comparaison des équations AC avec différents Laplaciens). Ensuite, des tests informatiques ont été utilisés pour analyser la dynamique interfaciale des équations AC et du p-Laplacien.
Les expériences ont démontré que les solutions de l’équation AC maintenaient les trois critères – séparation de phase, délimitation et propriétés de décroissance de l’énergie – avec l’opérateur p-Laplacien. Les chercheurs ont également identifié que la netteté d’une interface peut être ajustée aux valeurs p, révélant un avantage de l’équation p-AC par rapport au laplacien classique.
Discutant des implications à long terme de cette étude, le professeur Lee déclare : « Avec la modélisation de phase et l’utilisation d’équations mathématiques comme p-AC, nous pouvons identifier comment les cellules organisent des réactions biochimiques complexes dans des environnements chimiques distincts, ou dans des organites où les composants se diffusent. pour les processus. »
Pour le professeur Lee et son co-auteur de cette étude, le professeur Chaeyoung Lee de l’Université de Corée, la poursuite de ces modèles mathématiques est loin d’être terminée. S’appuyant sur ces résultats, les chercheurs souhaitent faire progresser la compréhension des modèles de champ de phase en étudiant à l’avenir les réactions biochimiques à l’aide des équations p-AC.
Plus d’information:
Dongsun Lee et al, Solutions numériques de l’équation d’Allen-Cahn avec le p-Laplacien, Mathématiques appliquées et calcul (2022). DOI : 10.1016/j.amc.2022.127435
Fourni par l’Université nationale d’Incheon