Transsérie d’instantons exacts pour la mécanique quantique

Dans le monde quantique, les processus peuvent être divisés en deux classes distinctes. Une classe, celle des phénomènes dits « perturbatifs », est relativement facile à détecter, tant dans une expérience que dans un calcul mathématique. Les exemples sont nombreux : la lumière émise par les atomes, l’énergie produite par les cellules solaires, les états des qubits dans un ordinateur quantique.

Ces phénomènes quantiques dépendent de la constante de Planck, la constante fondamentale de la nature qui détermine en quoi le monde quantique diffère de notre monde à grande échelle, mais de manière simple. Malgré la petitesse ridicule de cette constante – exprimée en unités courantes de kilogrammes, de mètres et de secondes, elle prend une valeur qui commence à la 34ème décimale après la virgule – le fait que la constante de Planck ne soit pas exactement nulle suffit pour calculer de tels effets quantiques.

Ensuite, il y a les phénomènes « non perturbatifs ». L’un des plus connus est la désintégration radioactive : un processus par lequel, grâce à des effets quantiques, des particules élémentaires peuvent échapper à la force d’attraction qui les lie aux noyaux atomiques. Si le monde était « classique », c’est-à-dire si la constante de Planck était exactement nulle, cette force d’attraction serait impossible à vaincre.

Dans le monde quantique, la désintégration se produit, mais seulement occasionnellement ; par exemple, un seul atome d’uranium mettrait en moyenne plus de quatre milliards d’années à se désintégrer. Le nom collectif de ces événements quantiques rares est « tunneling » : pour que la particule puisse s’échapper, elle doit « creuser un tunnel » à travers la barrière énergétique qui la maintient liée au noyau. Un tunnel qui peut prendre des milliards d’années à creuser et qui fait que The Shawshank Redemption ressemble à un jeu d’enfant.

Les mathématiques à la rescousse

Mathématiquement, les effets quantiques non perturbateurs sont beaucoup plus difficiles à décrire que leurs cousins ​​perturbateurs. Pourtant, au cours du siècle d’existence de la mécanique quantique, les physiciens ont trouvé de nombreuses façons de gérer ces effets, ainsi que de les décrire et de les prédire avec précision.

« Il y avait encore du travail à faire dans ce problème vieux d’un siècle », déclare Alexander van Spaendonck, l’un des auteurs de la nouvelle publication. « Les descriptions des phénomènes tunnels en mécanique quantique nécessitaient une unification plus poussée, un cadre dans lequel tous ces phénomènes pourraient être décrits et étudiés à l’aide d’une structure mathématique unique. »

Étonnamment, une telle structure a été trouvée dans des mathématiques vieilles de 40 ans. Dans les années 1980, le mathématicien français Jean Écalle avait mis en place un cadre qu’il a baptisé résurgence, et qui avait précisément cet objectif : structurer les phénomènes non perturbatifs.

Alors pourquoi a-t-il fallu 40 ans pour que la combinaison naturelle du formalisme d’Écalle et de son application aux phénomènes de tunnel soit menée à son terme ?

Marcel Vonk, l’autre auteur de la publication, explique : « Les articles originaux d’Écalle étaient longs – plus de 1 000 pages au total – très techniques et publiés uniquement en français. les physiciens ont commencé à se familiariser avec cette « boîte à outils » de résurgence.

« À l’origine, il était principalement appliqué à de simples ‘modèles de jouets’, mais bien sûr, les outils ont également été essayés sur la mécanique quantique réelle. Notre travail amène ces développements à leur conclusion logique. »

Belle structure

Cette conclusion est que l’un des outils de la boîte à outils d’Écalle, celui d’une « transsérie », est parfaitement adapté pour décrire les phénomènes tunnel dans pratiquement n’importe quel problème de mécanique quantique, et ce toujours de la même manière. En explicitant les détails mathématiques, les auteurs ont découvert qu’il devenait possible non seulement d’unifier tous les phénomènes de tunnel en un seul objet mathématique, mais également de décrire certains « sauts » dans l’ampleur du rôle de ces phénomènes – un effet connu sous le nom de Stokes. ‘ phénomène.

Van Spaendonck partage : « En utilisant notre description du phénomène de Stokes, nous avons pu montrer que certaines ambiguïtés qui tourmentaient les méthodes « classiques » de calcul des effets non perturbateurs – une infinité, en fait – ont toutes disparu de notre méthode. s’avère encore plus belle que ce à quoi nous nous attendions initialement.

« La transsérie qui décrit l’effet tunnel quantique s’avère être divisée – ou « factorisée » – d’une manière surprenante : en une transsérie « minimale » qui décrit les phénomènes tunnels de base qui existent essentiellement dans tout problème de mécanique quantique, et un objet que nous avons appelé l’effet tunnel. « transsérie médiane » qui décrit les détails les plus spécifiques au problème, et qui dépend par exemple de la symétrie d’un certain paramètre quantique.

Une fois cette structure mathématique complètement clarifiée, la question suivante est bien sûr de savoir où les nouveaux enseignements peuvent être appliqués et ce que les physiciens peuvent en tirer. Dans le cas de la radioactivité, par exemple, certains atomes sont stables tandis que d’autres se désintègrent. Dans d’autres modèles physiques, les listes de particules stables et instables peuvent varier à mesure que l’on modifie légèrement la configuration – un phénomène connu sous le nom de « franchissement de mur ».

Les chercheurs envisagent ensuite de clarifier cette notion de traversée de murs en utilisant les mêmes techniques. Ce problème difficile a encore une fois été étudié par de nombreux groupes de différentes manières, mais une structure unificatrice similaire pourrait désormais être à l’ordre du jour. Il y a certainement de la lumière au bout du tunnel.

Le travail est publié dans la revue Physique SciPost.