Paper propose une approche mathématique pour modéliser un marcheur aléatoire se déplaçant dans un paysage aléatoire

De minuscules particules comme les grains de pollen se déplacent constamment, poussées et tirées par les forces environnementales. Pour étudier ce mouvement, les physiciens utilisent un modèle de « marche aléatoire », un système dans lequel chaque étape est déterminée par un processus aléatoire. Les marches aléatoires sont utiles pour tout étudier, de la physique minuscule à la diffusion sur les marchés financiers.

Mais que se passerait-il si l’environnement lui-même – et pas seulement le marcheur – était aléatoire ? « Nous pouvons penser à une ville dans laquelle l’élévation ondule de manière aléatoire, le promeneur étant plus susceptible de descendre plutôt que de monter », explique Sidney Redner, physicien et professeur au SFI.

Une question fondamentale dans ce scénario, dit-il, est de déterminer le temps nécessaire au système pour passer d’un point arbitraire à un autre. Cette quantité est appelée « temps de premier passage » et les chercheurs l’ont résolue dans une seule dimension, bien qu’en utilisant des calculs fastidieux.

Dans un papier Publié dans Examen physique E, Redner, en collaboration avec James Holehouse, boursier postdoctoral du programme SFI, a introduit une nouvelle façon de déterminer efficacement tous les temps de premier passage possibles et leurs probabilités. Leur approche, qui s’appuie sur des mathématiques capiteuses, capture le caractère aléatoire du marcheur et de l’environnement.

Dans cet article, ils décrivent comment calculer une « fonction génératrice de moment » – une sorte de machine mathématique permettant de fournir des informations statistiques complètes sur la distribution des temps de premier passage.

Leur approche pourrait améliorer les analyses prédictives dans un large éventail de processus influencés par le hasard, depuis l’évolution des populations biologiques jusqu’aux systèmes migratoires en passant par la dynamique des instruments financiers utilisés pour étudier les marchés. Il s’appuie sur les idées que Redner a décrites pour la première fois dans son livre de 2001 « A Guide to First Passage Processes » (et pour lequel il prépare une deuxième édition.)

Les chercheurs abordent généralement les problèmes de premier passage à l’aide d’énormes simulations, qui commencent par les systèmes initiaux et parcourent le temps pour prédire le temps nécessaire pour atteindre un certain état. « Mais les simulations sont une très mauvaise manière d’étudier [these systems] », dit Holehouse.

Redner ajoute : « Si vous simulez certains de ces systèmes, vous êtes assuré d’obtenir la mauvaise réponse, car vous devez simuler tellement d’instances du système que pour trouver la bonne réponse, il faudrait un temps de calcul qui dépasse l’âge du système. univers. »