Lorsque les matériaux courbes s’aplatissent, une géométrie simple peut prédire les motifs de rides qui émergent

Un objet intrinsèquement plat, disons un morceau de papier, peut être façonné en un cylindre sans l’étirer ni le déchirer. La même chose n’est pas vraie, cependant, pour quelque chose d’intrinsèquement incurvé comme une lentille de contact. Lorsqu’ils sont comprimés entre deux surfaces planes ou posés sur l’eau, les objets courbes s’aplatissent, mais avec des rides qui se forment lorsqu’ils se déforment.

Maintenant, des recherches de l’Université de Pennsylvanie, de l’Université de l’Illinois à Chicago (UIC) et de l’Université de Syracuse ont montré qu’avec une géométrie simple, il est possible de prédire les modèles de ces rides, à la fois où elles se formeront et, dans certains cas, leur direction. Les conclusions, publiées dans Physique naturelleont une gamme d’implications, de la façon dont les matériaux interagissent avec l’humidité et réfléchissent la lumière du soleil dans la nature à la façon dont une électronique flexible pourrait se plier.

« La beauté de ce travail réside dans sa simplicité », déclare Eleni Katifori, professeure associée au département de physique et d’astronomie de Penn. « Ce qu’il y a derrière est très compliqué, la physique qui se traduit par ces règles que nous avons trouvées, mais les règles elles-mêmes sont très simples. C’est inspirant. »

Rencontre des esprits

Depuis son doctorat. travail, Katifori s’est intéressé à la mécanique de la courbure des membranes minces. Bien que cela soit resté une curiosité, son chemin de recherche s’est plutôt orienté vers les réseaux d’écoulement de fluides. Puis, alors qu’elle collaborait sur un projet avec son collègue de Penn, Randall Kamien, puis le boursier postdoctoral Hillel Aharoni, Katifori a observé quelque chose qu’elle ne pouvait pas expliquer à l’époque. « C’est-à-dire que nous avons remarqué la formation de rides dans les domaines », dit-elle.

En d’autres termes, lorsqu’une surface incurvée est aplatie, elle se retrouve avec un excès de matière et des rides subséquentes. Ces rides apparaissent dans des motifs ou des secteurs. « La question est devenue, pourquoi les rides s’arrangent-elles de cette façon? » dit Katifori. « Nous n’avons pas compris à quel point les domaines des rides sont vraiment importants. »

Lors d’une conférence en 2016, le mathématicien Ian Tobasco, professeur assistant à l’UIC, a entendu Aharoni donner une conférence sur le sujet. « C’était la première fois que je voyais ce système modèle être présenté », déclare Tobasco. « Je pensais que c’était vraiment cool. » À la mi-2017, Katifori, Aharoni et leurs collègues ont publié des conclusions sur le sujet dans Communication Naturepuis lors d’un atelier plus tard cette année-là, Tobasco a rencontré Joseph Paulsen de Syracuse, qui avait présenté des données préliminaires sur l’expérimentation que son groupe avait faite sur les rides.

Début 2018, Tobasco a commencé à travailler sérieusement sur une théorie mathématique des rides, et lors d’un déjeuner lors d’une conférence cet été-là, Katifori, Tobasco et Paulsen ont convenu qu’ils partageaient un intérêt pour ce problème. Ils ont décidé de collaborer, en se concentrant sur l’analyse de l’importance de la forme physique du matériau et de la courbure à partir de laquelle il commence pour les motifs froissés.

Travailler sur le problème

Pour certains arrière-plans, la courbure peut être positive, comme l’arrondi d’une balle de baseball ou d’un globe, ou négative, comme la selle d’un cheval ou l’endroit sur une bouteille en verre où le goulot rencontre la base. Il y a aussi du matériel plat, comme un morceau de papier.

Dans ce travail, les chercheurs se sont concentrés sur des coquilles à courbure positive et négative.

De chacun, ils ont ensuite retiré des formes de base, comme des triangles, des carrés et des ovales. « Pensez à un emporte-pièce. Disons que je prends un objet avec une courbure positive ou négative, puis que je découpe l’une de ces formes et que je la pose sur un liquide », explique Katifori. Serait-il possible de deviner les motifs des rides et de calculer la direction dans laquelle les rides s’écouleraient ? Pour chaque forme, Tobasco résolvait la théorie basée sur les principes fondamentaux qu’il avait élaborés et publiés, puis faisait des prédictions.

Sur la base de ces découvertes, la chercheuse postdoctorale Katifori et Penn, Desislava Todorova, a ensuite effectué des simulations, saisissant des formes et des paramètres individuels dans un programme informatique. Un travail similaire se produisait dans le laboratoire dirigé par Paulsen, professeur adjoint de physique à Syracuse, à travers des expériences qu’il menait sur un film de polystyrène 1 000 fois plus fin qu’un morceau de papier. « Il est fabriqué à partir du même matériau que les cacahuètes d’emballage », explique Tobasco, « mais au lieu de la forme tridimensionnelle d’une cacahuète d’emballage, imaginez qu’elle est plate comme une feuille. »

Grâce aux simulations, à l’expérimentation et à de nombreux allers-retours pour affiner le processus et développer la théorie originale, le trio a commencé à discerner qu’en appliquant des principes géométriques simples, ils pouvaient savoir à l’avance quel motif les rides prendraient et pour un sous-ensemble – ce qu’ils décrivent comme des rides « ordonnées » – dans quelle direction ils courraient.

Les principes géométriques

Pour expliquer un tel principe, Katifori utilise un polygone à cinq côtés. « J’inscris d’abord un cercle dans le polygone », dit-elle. « Les points où ce cercle touche les bords du polygone déterminent où je dessine mes lignes. » Elle s’arrête pour créer une seconde forme à l’intérieur de la première, celle-ci avec quatre côtés inégaux ; elle commence chaque ligne où le cercle et le polygone extérieur se rencontrent, reliant les quatre lignes intérieures. « Maintenant, j’ai un, deux, trois, quatre, cinq domaines », poursuit-elle en désignant le quintet de sections nouvellement bouclées.

Pour des formes simples comme celle-ci, les sections extérieures contiendront des rides ordonnées, organisées et ordonnées, suivant la direction des lignes intérieures dessinées par Katifori. Dans le nouveau polygone intérieur, des rides se forment encore, mais elles restent désordonnées et imprévisibles.

Tobasco cite un autre exemple, celui qu’il a déterminé était universellement vrai pour les formes découpées dans des coquilles à courbure négative. « En fin de compte, il est très simple de prédire les motifs de rides. Tout ce que vous avez à faire est de tracer des segments de ligne qui rencontrent la limite à angle droit. » En d’autres termes, commencez par un point à l’intérieur de la forme et créez une ligne directe vers le bord de la forme, mais uniquement à un endroit où un angle droit se formera alors.

Cela a pris un an à l’équipe pour comprendre. « Les équations qui déterminent la disposition des rides sont horribles à résoudre, et bon nombre des modèles que nous avons observés dans nos expériences et simulations sont assez compliqués », déclare Paulsen. « Mais il s’avère que sous un certain ensemble de conditions, vous pouvez prédire la disposition des rides avec un ensemble de règles simples. Cela signifie que nous avons maintenant un moyen rapide et efficace de concevoir des motifs de rides. »

« Sa simplicité est belle, et c’est aussi utile », ajoute-t-il, en particulier pour les surfaces froissées qui remplissent une fonction comme permettre l’adhérence ou l’écoulement des fluides.

Katifori mentionne des exemples similaires. « Disons qu’il y a de l’humidité ou de l’humidité dans l’air. L’eau se comportera différemment dans les vallées et les collines d’une surface rainurée », dit-elle. « En contrôlant le motif des rides, vous pouvez peut-être affecter la façon dont l’eau se condensera. »

Que ce passe t-il après

Les chercheurs ont encore plus à comprendre sur ces surfaces texturées complexes, comme comment extraire des motifs de rides désordonnées, pourquoi des domaines ordonnés et désordonnés peuvent coexister, et pourquoi il existe une « réciprocité » reliant les coques incurvées négativement et positivement, c’est-à-dire une fois le motif pour un est déterminé, il est simple de prédire le modèle pour l’autre.

Pour l’instant, cependant, ils se disent enthousiasmés par le potentiel de ce qu’ils ont appris jusqu’à présent.

« Vous avez une théorie compliquée qui, en fin de compte, se résume à des mathématiques relativement simples que presque tout le monde peut faire avec une boussole et une règle », explique Katifori. « C’est une solution élégante et belle à un problème complexe. »