Le mouvement des fluides dans la nature, y compris l’écoulement de l’eau dans nos océans, la formation de tornades dans notre atmosphère et le flux d’air entourant les avions, a longtemps été décrit et simulé par ce que l’on appelle les équations de Navier-Stokes.
Pourtant, les mathématiciens n’ont pas une compréhension complète de ces équations. Bien qu’ils soient un outil utile pour prédire l’écoulement des fluides, nous ne savons toujours pas s’ils décrivent avec précision les fluides dans tous les scénarios possibles. Cela a conduit le Clay Mathematics Institute du New Hampshire à étiqueter les équations de Navier-Stokes comme l’un de ses sept problèmes du millénaire : les sept problèmes non résolus les plus urgents de toutes les mathématiques.
Le problème du millénaire de l’équation de Navier – Stokes demande aux mathématiciens de prouver s’il existe toujours des solutions «lisse» pour les équations de Navier – Stokes.
En termes simples, la régularité fait référence à la question de savoir si les équations de ce type se comportent de manière prévisible et logique. Imaginez une simulation dans laquelle un pied appuie sur la pédale d’accélérateur d’une voiture, et la voiture accélère à 10 miles par heure (mph), puis à 20 mph, puis à 30 mph, puis à 40 mph. Cependant, si le pied appuie sur la pédale d’accélérateur et que la voiture accélère à 50 mph, puis à 60 mph, puis instantanément à un nombre infini de miles par heure, vous diriez qu’il y a quelque chose qui ne va pas avec la simulation.
C’est ce que les mathématiciens espèrent déterminer pour les équations de Navier-Stokes. Est-ce qu’ils simulent toujours les fluides d’une manière qui a du sens, ou y a-t-il des situations dans lesquelles ils se décomposent ?
Dans un article publié sur le serveur de prépublication arXivThomas Hou de Caltech, professeur Charles Lee Powell de mathématiques appliquées et computationnelles, et Jiajie Chen (Ph.D. ’22) du Courant Institute de l’Université de New York, fournissent une preuve qui résout un problème ouvert de longue date pour le soi-disant 3D Euler singularité.
L’équation 3D d’Euler est une simplification des équations de Navier-Stokes, et une singularité est le point où une équation commence à s’effondrer ou à « exploser », ce qui signifie qu’elle peut soudainement devenir chaotique sans avertissement (comme la voiture simulée accélérant à une vitesse infinie). nombre de miles par heure). La preuve est basée sur un scénario proposé pour la première fois par Hou et son ancien postdoc, Guo Luo, en 2014.
Le calcul de Hou avec Luo en 2014 a découvert un nouveau scénario qui a montré la première preuve numérique convaincante d’une explosion d’Euler 3D, alors que les tentatives précédentes pour découvrir une explosion d’Euler 3D étaient soit peu concluantes, soit non reproductibles.
Dans le dernier article, Hou et Chen montrent une preuve définitive et irréfutable du travail de Hou et Luo impliquant l’explosion de l’équation d’Euler 3D. « Cela commence par quelque chose qui se comporte bien, mais qui évolue d’une manière ou d’une autre d’une manière où cela devient catastrophique », a déclaré Hou.
« Pendant les dix premières années de mon travail, je pensais qu’il n’y avait pas d’explosion d’Euler », déclare Hou. Après plus d’une décennie de recherche depuis, Hou a non seulement prouvé qu’il avait tort, mais il a résolu un mystère mathématique vieux de plusieurs siècles.
« Cette percée témoigne de la ténacité du Dr Hou à résoudre le problème d’Euler et de l’environnement intellectuel que Caltech nourrit », déclare Harry A. Atwater, Otis Booth Leadership Chair of the Division of Engineering and Applied Science, Howard Hughes Professor of Applied Physics et science des matériaux, et directeur de la Liquid Sunlight Alliance. « Caltech permet aux chercheurs d’appliquer un effort créatif soutenu sur des problèmes complexes, même sur des décennies, pour obtenir des résultats extraordinaires. »
L’effort combiné de Hou et de ses collègues pour prouver l’existence d’une explosion avec l’équation d’Euler 3D est une percée majeure en soi, mais représente également un énorme bond en avant dans la résolution du problème du millénaire de Navier-Stokes. Si les équations de Navier-Stokes pouvaient également exploser, cela signifierait que quelque chose ne va pas avec l’une des équations les plus fondamentales utilisées pour décrire la nature.
« L’ensemble du cadre que nous avons mis en place pour cette analyse serait extrêmement utile pour Navier-Stokes », a déclaré Hou. « J’ai récemment identifié un candidat prometteur pour l’explosion de Navier-Stokes. Nous avons juste besoin de trouver la bonne formulation pour prouver l’explosion de Navier-Stokes. »
Plus d’information:
Jiajie Chen et al, Éclatement stable presque auto-similaire des équations de Boussinesq 2D et d’Euler 3D avec des données lisses, arXiv (2022). DOI : 10.48550/arxiv.2210.07191