Comment déterminer quels points se trouvent sur une courbe donnée ? Et combien de courbes possibles peut-on compter pour un nombre donné de points ? C’est le genre de questions que Pim Spelier, de l’Institut de mathématiques, a étudiées lors de sa thèse de doctorat. Spelier a obtenu son doctorat avec distinction le 12 juin.
Compter les courbes, qu’est-ce que cela signifie au cours d’une journée normale ? « Je reste assis et je regarde beaucoup », répond Spelier. « Quand on me demande ce que je fais exactement, je ne peux pas toujours répondre aussi facilement. En général, je donne l’exemple de la particule qui voyage dans le temps. »
Toutes les courbes possibles
Imaginez une particule se déplaçant dans l’espace et vous suivez le chemin qu’elle emprunte au cours du temps. Ce chemin est une courbe, un objet géométrique. Combien de chemins possibles la particule peut-elle suivre, si nous supposons certaines propriétés ? Par exemple, une ligne droite ne peut passer que par deux points dans un seul sens. Mais combien de chemins sont possibles pour la particule si nous examinons des courbes plus complexes ? Et comment étudie-t-on cela ?
En observant toutes les courbes possibles en même temps. Par exemple, toutes les directions possibles à partir d’un point donné forment entre elles un cercle, et cela s’appelle un espace de modules. Et ce cercle est lui-même un objet géométrique.
La magie mathématique peut se produire parce que cet ensemble de courbes possède lui-même des propriétés géométriques, explique Spelier, auxquelles on peut appliquer des astuces géométriques. Ensuite, on peut rendre cela beaucoup plus compliqué avec des courbes et des espaces encore plus complexes. Donc, pas en comptant en trois mais, par exemple, en onze dimensions.
Spelier essaie de trouver des modèles qui s’appliquent toujours aux courbes qu’il étudie. Son approche ? Décomposer des espaces compliqués en petits espaces faciles. On peut aussi décomposer des courbes en courbes partielles. De cette façon, les espaces dans lesquels on compte sont plus faciles. Mais les courbes ont parfois des propriétés compliquées, car il faut pouvoir les recoller.
Spelier explique : « Le but est de trouver suffisamment de principes pour déterminer exactement le nombre de courbes. »
À la recherche de preuves pour les points sur les courbes
En plus des courbes, Spelier a également compté des points sur des courbes. Il a étudié la question : combien de solutions possède une équation mathématique donnée ?
Ces équations sont un peu plus compliquées que l’équation a2 + b2 = c2 du théorème de Pythagore. Cette équation porte sur les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Si vous remplacez les carrés par des puissances supérieures, il est plus difficile d’étudier les solutions. Spelier a étudié les solutions en nombres entiers, par exemple, 32 + 42 = 52.
Il existe désormais une méthode pour trouver ces solutions. Le professeur de mathématiques Bas Edixhoven, décédé en 2022, et son doctorant Guido Lido ont développé une approche alternative au même problème. Mais on ne savait pas encore dans quelle mesure les deux méthodes correspondaient ou divergeaient. Au cours de ses recherches de doctorat, Spelier a développé un algorithme pour étudier cette question.
La première personne avec une réponse
Le développement de cet algorithme est nécessaire pour implémenter la méthode. Si vous voulez le faire à la main, vous obtenez des pages et des pages d’équations. La méthode d’Edixhoven utilise la géométrie algébrique. Grâce à des astuces géométriques astucieuses, vous pouvez calculer exactement le nombre entier de points d’une courbe donnée. Spelier a prouvé que la méthode Edixhoven-Lido est meilleure que l’ancienne.
David Holmes, professeur de mathématiques pures et directeur de thèse de Spelier, salue la démonstration apportée. « Quand vous êtes le premier à répondre à une question à laquelle tout le monde dans notre communauté veut une réponse, c’est très impressionnant. Pim prouve que ces deux méthodes de recherche de points rationnels sont similaires, un problème qui a vraiment occupé les mathématiciens. »
Faire des maths ensemble
Le meilleur aspect de son doctorat ? Les rencontres avec son directeur de thèse. Après la première année, il s’agissait davantage de collaboration que de supervision, tant pour Spelier que pour Holmes. Spelier déclare : « Faire des maths ensemble est toujours plus amusant que de le faire seul. »
Spelier commence en septembre comme postdoc à Utrecht et n’a apparemment pas encore fini de compter. Après avoir compté des points et des courbes, il va bientôt commencer à compter des surfaces.
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Thèse: Compter les courbes et leurs points rationnels