Deux mathématiciens expliquent comment la construction de ponts au sein de la discipline a aidé à prouver le dernier théorème de Fermat

Le 23 juin 1993, le mathématicien Andrew Wilès a donné la dernière de trois conférences détaillant sa solution pour Le dernier théorème de Fermat, un problème resté sans solution pendant trois siècles et demi. L’annonce de Wiles a fait sensation, tant au sein de la communauté mathématique et dans les médias.

En plus de fournir une solution satisfaisante à un problème de longue date, le travail de Wiles marque un moment important dans l’établissement d’un pont entre deux domaines importants, mais apparemment très différents, des mathématiques.

L’histoire démontre que bon nombre des plus grandes percées en mathématiques impliquent d’établir des liens entre des branches apparemment disparates du sujet. Ces ponts permettent aux mathématiciens, comme les deux de nouspour transporter les problèmes d’une branche à l’autre et accéder à de nouveaux outils, techniques et connaissances.

Quel est le dernier théorème de Fermat ?

Le dernier théorème de Fermat est similaire au théorème de Pythagorequi stipule que les côtés de tout triangle rectangle donnent une solution à l’équation x2 + y2 = z2 .

Chaque triangle de taille différente donne une solution différente, et en fait il y a une infinité de solutions où les trois de x, y et z sont des nombres entiers – le plus petit exemple est x=3, y=4 et z=5.

Le dernier théorème de Fermat concerne ce qui se passe si l’exposant passe à quelque chose de plus grand que 2. Existe-t-il des solutions entières à x3 + y3 = z3 ? Et si l’exposant est 10, 50 ou 30 millions ? Ou, plus généralement, qu’en est-il de tout nombre positif supérieur à 2 ?

Vers l’an 1637, Pierre de Fermat a affirmé que la réponse était non, il n’y a pas trois nombres entiers positifs qui sont une solution à xn + yn = zn pour tout n supérieur à 2. Le mathématicien français a griffonné cette affirmation dans les marges de sa copie d’un manuel de mathématiques de la Grèce antiquedéclarant qu’il avait une merveilleuse preuve que la marge était « trop ​​étroite pour être contenue ».

La prétendue preuve de Fermat n’a jamais été trouvée, et son « dernier théorème » des marges, publié à titre posthume par son fils, a tourmenté les mathématiciens pendant des siècles.

Recherche d’une solution

Pendant les 356 années suivantes, personne ne put trouver la preuve manquante de Fermat, mais personne ne put non plus prouver qu’il avait tort, pas même Homer Simpson. Le théorème a rapidement acquis la réputation d’être incroyablement difficile, voire impossible à prouver, avec des milliers de preuves incorrectes mettre en avant. Le théorème a même gagné une place dans le Guinness World Records en tant que « problème mathématique le plus difficile. »

Cela ne veut pas dire qu’il n’y a pas eu de progrès. Fermat lui-même l’avait prouvé pour n=3 et n=4. De nombreux autres mathématiciens, dont le pionnier Sophie Germainont apporté des preuves pour les valeurs individuelles de n, inspirées des méthodes de Fermat.

Mais savoir que le dernier théorème de Fermat est vrai pour certains nombres n’est pas suffisant pour les mathématiciens – nous devons savoir qu’il est vrai pour un nombre infini d’entre eux. Les mathématiciens voulaient une preuve qui fonctionnerait pour tous les nombres supérieurs à 2 à la fois, mais pendant des siècles, il semblait qu’aucune preuve de ce genre ne pouvait être trouvée.

Cependant, vers la fin du 20e siècle, un nombre croissant de travaux suggéraient que le dernier théorème de Fermat devrait être vrai. Au cœur de ce travail se trouvait quelque chose appelé la conjecture de modularité, également connue sous le nom de Conjecture de Taniyama-Shimura.

Un pont entre deux mondes

La conjecture de modularité proposait une connexion entre deux objets mathématiques apparemment sans rapport : courbes elliptiques et formes modulaires.

Les courbes elliptiques ne sont ni des ellipses ni des courbes. Ce sont des espaces en forme de beignet de solutions d’équations cubiques, comme y2 = x3—3x + 1.

Une forme modulaire est une sorte de fonction qui accepte certains nombres complexes (des nombres à deux parties : une partie réelle et une partie imaginaire) et génère un autre nombre complexe. La particularité de ces fonctions est qu’elles sont très symétriquece qui signifie qu’il y a beaucoup de conditions sur ce à quoi ils peuvent ressembler.

Il n’y a aucune raison de s’attendre à ce que ces deux concepts soient liés, mais c’est ce que la conjecture de modularité impliquait.

Enfin une preuve

La conjecture de modularité ne semble rien dire sur des équations comme xn + yn = zn . Mais les travaux des mathématiciens des années 1980 ont montré un lien entre ces nouvelles idées et l’ancien théorème de Fermat.

Tout d’abord, en 1985, Gerhard Frey a réalisé que si Fermat avait tort et qu’il pouvait y avoir une solution à xn + yn = zn pour un n plus grand que 2, cette solution produirait une courbe elliptique particulière. Alors Kenneth Ribet a montré en 1986 qu’une telle courbe ne pouvait pas exister dans un univers où la conjecture de modularité était également vraie.

Leur travail impliquait que si les mathématiciens pouvaient prouver la conjecture de modularité, alors le dernier théorème de Fermat devait être vrai. Pour de nombreux mathématiciens, dont Andrew Wiles, travailler sur la conjecture de modularité est devenu un moyen de prouver le dernier théorème de Fermat.

Wiles a travaillé pendant sept ans, surtout en secret, essayant de prouver cette conjecture difficile. En 1993, il était sur le point d’avoir une preuve d’un cas particulier de la conjecture de modularité – ce qui était tout ce dont il avait besoin pour prouver le dernier théorème de Fermat.

Il a présenté son travail dans un série de conférences à l’Isaac Newton Institute en juin 1993. Bien qu’un examen ultérieur par les pairs ait révélé une lacune dans la preuve de Wiles, Wiles et son ancien élève Richard Taylor travaillé encore un an pour combler ce vide et cimenter le dernier théorème de Fermat comme une vérité mathématique.

Conséquences durables

Les impacts du dernier théorème de Fermat et de sa solution continuent de se répercuter dans le monde des mathématiques. En 2001, un groupe de chercheurs, dont Taylor, a donné une Preuve complète de la conjecture de modularité dans un série de papiers qui ont été inspirés par le travail de Wiles. Ce pont achevé entre les courbes elliptiques et les formes modulaires a été – et continuera d’être – fondamental pour comprendre les mathématiques, même au-delà du dernier théorème de Fermat.

Le travail de Wiles est cité comme commençant « une nouvelle ère de la théorie des nombres » et est au cœur d’éléments importants des mathématiques modernes, y compris une méthode largement utilisée technique de cryptage et un énorme effort de recherche connu sous le nom de Programme Langlands qui vise à jeter un pont entre deux domaines fondamentaux des mathématiques : la théorie algébrique des nombres et l’analyse harmonique.

Bien que Wiles ait travaillé principalement de manière isolée, il a finalement eu besoin de l’aide de ses pairs pour identifier et combler les lacunes de sa preuve originale. De plus en plus, les mathématiques sont aujourd’hui un effort de collaboration, comme en témoigne ce qu’il a fallu pour finir de prouver la conjecture de modularité. Les problèmes sont vastes et complexes et nécessitent souvent une expertise variée.

Alors, finalement, Fermat avait-il vraiment une preuve de son dernier théorème, comme il le prétendait ? Sachant ce que les mathématiciens savent maintenant, beaucoup d’entre nous aujourd’hui ne le croient pas. Même si Fermat était brillant, il se trompait parfois. Les mathématiciens peuvent accepter qu’il croyait avoir une preuve, mais il est peu probable que sa preuve résiste à l’examen moderne.

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