Des brûlures à la nature ondulatoire de la chaleur, en passant par l’équation télégraphique

Lorsqu’un train approche ou qu’une ambulance avec sa sirène hurlante s’approche de nous, nous entendons le son avec une fréquence accrue, diminuant progressivement légèrement. Au fur et à mesure de son passage, la fréquence passe brusquement à une fréquence plus basse, puis diminue encore davantage. Cet effet Doppler couramment rencontré peut constituer un indice précieux sur la nature d’un phénomène apparemment totalement étranger à la propagation du son : le transport de chaleur.

Les brûlures ne sont agréables pour personne, mais elles affectent doublement les physiciens : non seulement ils souffrent de manière normale, mais ils ne savent toujours pas quel mécanisme est responsable du transport de chaleur dans des systèmes aussi complexes que les tissus biologiques.

S’agit-il de diffusion, associée à la propagation de molécules de matière initialement regroupées ? Ou bien les phénomènes ondulatoires similaires à ceux connus en acoustique sont-ils responsables du transport de chaleur ?

Un groupe de trois théoriciens de l’Institut de physique nucléaire de l’Académie polonaise des sciences (IFJ PAN) à Cracovie a décidé d’aborder le problème du transport de chaleur en utilisant l’équation télégraphique et l’effet Doppler, bien connus de nous dans la vie quotidienne (et primaire). école). Les résultats du travail de l’équipe viennent d’être publié dans le Journal international du transfert de chaleur et de masse.

En physique, le mouvement des vagues est décrit par une équation appelée équation des vagues. Lorsque la technologie télégraphique se développe dans la seconde moitié du XIXe siècle, il devient évident que, pour décrire un message transmis en code Morse, il faut modifier cette équation pour tenir compte de l’atténuation du courant circulant dans le milieu dans lequel il est transmis. se propage, c’est à dire à travers le câble télégraphique.

Dans l’optique des télécommunications, l’équation télégraphique a ensuite été développée pour décrire comment le courant électrique se propage avec atténuation le long d’une dimension spatiale.

« Ces dernières années, l’équation télégraphique savamment généralisée a trouvé une nouvelle application : elle a également commencé à être utilisée pour décrire des phénomènes liés à la diffusion ou au transport de chaleur. Ce fait nous a incité à poser une question intrigante », explique le Dr Katarzyna Gorska. (FIJ PAN).

« Dans les solutions de l’équation des ondes, c’est-à-dire sans amortissement, l’effet Doppler se produit. Il s’agit d’un phénomène ondulatoire typique. Mais se produit-il également dans les solutions des équations télégraphiques liées au transport de chaleur ? Si tel est le cas, nous aurions une excellente indication que, du moins d’un point de vue théorique, il n’y a aucune raison de croire que dans les systèmes avec amortissement, par exemple dans les tissus biologiques, le flux de chaleur ne puisse pas être traité comme un phénomène ondulatoire.

L’effet Doppler classique est le changement apparent de fréquence des ondes émises par une source se déplaçant par rapport à un observateur. Lorsque la distance entre la source et l’observateur diminue, les maxima et minima des ondes émises atteignent le récepteur plus fréquemment que lorsque la distance entre la source et l’observateur augmente. Dans le cas des ondes sonores, nous pouvons clairement entendre que le bruit d’un train qui approche ou la sirène d’une ambulance qui approche rapidement ont des fréquences nettement plus élevées que lorsque ces véhicules s’éloignent de nous.

Le professeur Andrzej Horzela (FIJ PAN) souligne : « Le phénomène Doppler se produit dans les équations d’ondes, que nous disons locales. Nous entendons ici local dans le sens où il n’y a pas de délai entre l’action et la réaction. Les principes de la mécanique, par exemple, sont local : un changement dans la force résultante agissant sur un corps entraîne immédiatement un changement dans son accélération.

« Cependant, nous savons tous que nous pouvons prendre une tasse chaude et qu’avant de la sentir brûler, une seconde ou deux s’écoulent. Le phénomène présente un certain retard; nous disons qu’il est non local, c’est-à-dire étalé dans le temps. Voyons-nous donc l’effet Doppler dans l’équation télégraphique généralisée décrivant les systèmes étalés dans le temps ?

Facile à demander, plus difficile à répondre. Le problème réside dans les mathématiques elles-mêmes. Si les équations ne contiennent que des dérivées et des constantes, il n’y a généralement pas de difficulté à trouver des solutions. C’est le cas dans l’équation des ondes. La question devient plus compliquée lorsque l’équation ne contient que des intégrales, mais même dans ce cas, on peut souvent s’en sortir. Pendant ce temps, dans l’équation télégraphique généralisée, les dérivées et les intégrales se produisent simultanément.

Au cœur de l’article des physiciens de Cracovie se trouvait donc la preuve que les solutions de l’équation télégraphique généralisée peuvent être construites à partir de solutions beaucoup plus simples pour trouver l’équation locale. Ici, un rôle clé a été joué par la procédure connue dans la théorie des processus stochastiques sous le nom de subordination.

L’exemple suivant nous aide à comprendre le concept de subordination. Imaginez un homme qui a trop bu, mais qui essaie courageusement de marcher en ligne droite. Il fait un pas et reste immobile, attendant que le monde arrête de tourner. Il fait ensuite un autre pas, probablement un peu plus long ou plus court que le précédent, et s’arrête à nouveau pour une durée indéterminée.

La description mathématique d’un tel mouvement, appelé errance aléatoire, n’a pas besoin d’être triviale. Ce qui compte vraiment, ce n’est pas le temps que notre « vagabond » passe dans un endroit donné, mais la distance qu’il parcourt finalement.

Si les temps entre les pas étaient égaux, la description du mouvement du marin serait plus simple et correspondrait au mouvement d’une personne sobre : elle serait simplement la somme d’une séquence de pas successifs et s’enchaînant sans heurts.

« Dans notre approche, la subordination consiste à remplacer le temps physique qui s’écoule uniformément, dans lequel les équations sont compliquées, par un certain temps intrinsèque associé au temps physique, ce que nous faisons à travers une fonction appropriée contenant des informations sur la non-localité temporelle du processus. Cette procédure simplifie les équations sous une forme qui permet de trouver leurs solutions », explique le co-auteur de l’article Tobiasz Pietrzak, M.Sc, étudiant à l’École doctorale interdisciplinaire de Cracovie.

Les solutions de l’équation télégraphique ordinaire présentent des caractéristiques typiques de l’effet Doppler. Ils montrent la présence d’une inflexion de fréquence nette et nette, correspondant au moment où la source passe devant l’observateur et il y a un changement instantané et brusque de la hauteur du son enregistré par l’observateur.

Un comportement analogue a été observé par les physiciens de Cracovie dans les solutions de l’équation généralisée. Il semble donc que l’effet Doppler soit une caractéristique fondamentale du mouvement des vagues. Cependant, ce n’est pas tout. Dans le monde physique, chaque vague a son front d’onde qui, de manière quelque peu simplifiée, peut être identifié avec son début et sa fin. Quand on regarde le front de l’onde (et donc son front d’onde), le décalage Doppler est facile à constater.

Il s’avère que des changements de fréquence d’onde dus à des changements de distance entre l’observateur et la source se produisent également pour des ondes qui ne montrent pas l’existence d’un front d’onde, par exemple défini sur une zone illimitée.

La recherche sur les aspects ondulatoires de la propagation de la chaleur peut sembler une considération très abstraite, mais sa traduction dans la pratique quotidienne semble bien réelle. Les physiciens de l’IPJ PAN soulignent que les connaissances acquises peuvent être utilisées notamment dans les situations où le transport de chaleur sur de courtes distances est impliqué.

Les exemples incluent les applications médicales, où une meilleure compréhension des mécanismes de transport de chaleur peut permettre de développer des techniques plus sûres pour travailler avec des instruments chirurgicaux au laser ou de trouver une méthode pour éliminer l’excès de chaleur des tissus brûlés plus efficacement qu’auparavant. La cosmétologie, soucieuse de minimiser les effets thermiques indésirables survenant lors des procédures cosmétiques, pourrait également en bénéficier.