Les compétences en sciences et en mathématiques sont largement reconnues comme la clé du progrès économique et technologique, mais les mathématiques abstraites peuvent sembler incroyablement éloignées de l’optimisation industrielle ou de l’imagerie médicale. Les mathématiques pures donnent souvent des applications imprévues, mais sans machine à voyager dans le temps pour regarder vers l’avenir, comment les mathématiciens comme moi choisissent-ils ce qu’ils étudient ?
Au cours de nouilles thaïlandaises, j’ai demandé à des collègues ce qui rendait un problème intéressant, et ils m’ont proposé une multitude de suggestions : surprises, contradictions, modèles, exceptions, cas particuliers, connexions. Ces réponses peuvent sembler très différentes, mais elles soutiennent toutes une vision de l’univers mathématique comme une structure à explorer.
De ce point de vue, les mathématiciens sont comme des anatomistes apprenant le fonctionnement d’un corps, ou des navigateurs traçant de nouvelles eaux. Les questions que nous posons prennent plusieurs formes, mais les plus intéressantes sont celles qui nous aident à voir plus clairement la situation dans son ensemble.
Faire des cartes
Les objets mathématiques se présentent sous de nombreuses formes. Certains d’entre eux sont probablement assez familiers, comme les nombres et les formes. D’autres peuvent sembler plus exotiques, comme les équations, les fonctions et les symétries.
Au lieu de simplement nommer des objets, un mathématicien pourrait se demander comment une classe d’objets est organisée. Prenons les nombres premiers : nous savons qu’il y en a une infinité, mais nous avons besoin d’une compréhension structurelle pour déterminer à quelle fréquence ils se produisent ou pour les identifier de manière efficace.
D’autres bonnes questions explorent les relations entre des objets apparemment différents. Par exemple, les formes ont une symétrie, mais il en va de même pour les solutions de certaines équations.
Classer les objets et trouver des liens entre eux nous aide à assembler une carte cohérente du monde mathématique. En cours de route, nous rencontrons parfois des exemples surprenants qui défient les schémas que nous avons déduits.
De telles contradictions apparentes révèlent où notre compréhension fait encore défaut, et les résoudre fournit des informations précieuses.
Considérez le triangle
L’humble triangle fournit un exemple célèbre d’une contradiction apparente. La plupart des gens pensent qu’un triangle est la forme formée par trois segments de ligne de connexion, et cela fonctionne bien pour la géométrie que nous pouvons dessiner sur une feuille de papier.
Cependant, cette notion de triangle est limitée. Sur une surface sans lignes droites, comme une sphère ou une feuille de chou frisé, nous avons besoin d’une définition plus flexible.
Ainsi, pour étendre la géométrie à des surfaces qui ne sont pas plates, un mathématicien à l’esprit ouvert pourrait proposer une nouvelle définition d’un triangle : choisissez trois points et reliez chaque paire par le chemin le plus court entre eux.
C’est une excellente généralisation car elle correspond à la définition familière dans le cadre familier, mais elle ouvre également de nouveaux terrains. Lorsque les mathématiciens ont étudié ces triangles généralisés pour la première fois au XIXe siècle, ils ont résolu un mystère millénaire et révolutionné les mathématiques.
Le problème du postulat parallèle
Vers 300 av. J.-C., le mathématicien grec Euclide écrivit un traité de géométrie plane appelé Les éléments. Ce travail présentait à la fois des principes fondamentaux et des résultats qui en découlaient logiquement.
L’un de ses principes, appelé le postulat parallèle, équivaut à l’affirmation selon laquelle la somme des angles dans tout triangle est de 180°. C’est exactement ce que vous mesurerez dans chaque triangle plat, mais les mathématiciens ultérieurs ont débattu pour savoir si le postulat parallèle devait être un principe fondamental ou simplement une conséquence des autres hypothèses fondamentales.
Cette énigme a persisté jusqu’aux années 1800, lorsque les mathématiciens ont réalisé pourquoi une preuve était restée si insaisissable : le postulat parallèle est faux sur certaines surfaces.
Sur une sphère, les côtés d’un triangle s’écartent l’un de l’autre et les angles totalisent plus de 180°. Sur une feuille de chou ondulé, les côtés s’inclinent l’un vers l’autre et la somme des angles est inférieure à 180°.
Les triangles où la somme des angles enfreint la règle apparente ont conduit à la révélation qu’il existe des types de géométrie qu’Euclide n’aurait jamais imaginés. C’est une vérité profonde, avec des applications en physique, en infographie, en algorithmes rapides et au-delà.
Jours de salade
Les gens se demandent parfois si les mathématiques sont découvertes ou inventées, mais les deux points de vue semblent réels pour ceux d’entre nous qui étudient les mathématiques pour gagner leur vie. Les triangles sur un morceau de chou frisé sont minces, que nous les remarquions ou non, mais sélectionner les questions à étudier est une entreprise créative.
Des questions intéressantes découlent de la friction entre les modèles que nous comprenons et les exceptions qui les remettent en cause. Le progrès survient lorsque nous réconcilions des contradictions apparentes qui ouvrent la voie à l’identification de nouvelles.
Aujourd’hui, nous comprenons bien la géométrie des surfaces bidimensionnelles, nous sommes donc équipés pour nous tester par rapport à des questions similaires sur des objets de plus grande dimension.
Au cours des dernières décennies, nous avons appris que les espaces tridimensionnels ont également leurs propres géométries innées. Le plus intéressant s’appelle la géométrie hyperbolique, et il s’avère qu’il agit comme une version tridimensionnelle du chou frisé. Nous savons que cette géométrie existe, mais elle reste mystérieuse : dans mon propre domaine de recherche, il y a beaucoup de questions auxquelles nous pouvons répondre pour n’importe quel espace tridimensionnel… sauf les hyperboliques.
Dans les dimensions supérieures, nous avons encore plus de questions que de réponses, mais il est prudent de dire que l’étude de la géométrie à quatre dimensions entre dans ses jours de salade.
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