Qu’il s’agisse de phénomènes physiques, de cours d’actions ou de modèles climatiques, de nombreux processus dynamiques dans notre monde peuvent être décrits mathématiquement à l’aide d’équations aux dérivées partielles. Grâce à la stochastique – un domaine des mathématiques qui traite des probabilités – cela est même possible lorsque le hasard joue un rôle dans ces processus.
Les chercheurs travaillent depuis plusieurs décennies sur les équations aux dérivées partielles stochastiques. En collaboration avec d’autres chercheurs, le Dr Markus Tempelmayr du Cluster of Excellence Mathematics Münster de l’Université de Münster a trouvé une méthode qui aide à résoudre une certaine classe de telles équations.
Les résultats ont été publiés dans la revue Inventions mathématiques.
La base de leurs travaux est une théorie du professeur Martin Hairer, récipiendaire de la médaille Fields, développée en 2014 avec des collègues internationaux. Il s’agit d’une avancée majeure dans le domaine de la recherche sur les équations aux dérivées partielles stochastiques singulières. « Jusqu’alors », explique Tempelmayr, « la manière de résoudre ces équations était quelque peu mystérieuse. La nouvelle théorie a fourni une « boîte à outils » complète, pour ainsi dire, sur la manière d’aborder de telles équations. »
Le problème, poursuit Tempelmayr, est que la théorie est relativement complexe, de sorte qu’il est parfois difficile d’appliquer la « boîte à outils » et de l’adapter à d’autres situations.
« Ainsi, dans notre travail, nous avons examiné certains aspects de la « boîte à outils » sous un angle différent et avons trouvé et prouvé une méthode qui peut être utilisée de manière plus simple et plus flexible. »
L’étude, dans laquelle Tempelmayr a participé en tant que doctorant sous la direction du professeur Felix Otto à l’Institut Max Planck de mathématiques dans les sciences, a été publiée en 2021 sous forme de pré-impression. Depuis, plusieurs groupes de recherche ont appliqué avec succès cette approche alternative dans leurs travaux de recherche.
Les équations aux dérivées partielles stochastiques peuvent être utilisées pour modéliser un large éventail de processus dynamiques, par exemple la croissance superficielle de bactéries, l’évolution de films liquides minces ou des modèles de particules en interaction dans le magnétisme. Cependant, ces domaines d’application concrets ne jouent aucun rôle dans la recherche fondamentale en mathématiques car, quels que soient eux, c’est toujours la même classe d’équations qui est impliquée.
Les mathématiciens se concentrent sur la résolution des équations malgré les termes stochastiques et les défis qui en résultent, tels que le chevauchement des fréquences qui conduit à des résonances.
Diverses techniques sont utilisées à cet effet. Dans la théorie de Hairer, des méthodes sont utilisées qui aboutissent à des diagrammes arborescents illustratifs. « Ici, des outils issus des domaines de l’analyse stochastique, de l’algèbre et de la combinatoire sont appliqués », explique Tempelmayr. Lui et ses collègues ont plutôt choisi une approche analytique. Ce qui les intéresse particulièrement est la question de savoir comment la solution de l’équation change si le processus stochastique sous-jacent est légèrement modifié.
L’approche qu’ils ont adoptée n’était pas d’aborder directement la solution d’équations aux dérivées partielles stochastiques complexes, mais plutôt de résoudre de nombreuses équations plus simples et de prouver certaines affirmations à leur sujet.
« Les solutions des équations simples peuvent ensuite être combinées – simplement additionnées, pour ainsi dire – pour arriver à une solution à l’équation complexe qui nous intéresse réellement. » Ces connaissances sont utilisées par d’autres groupes de recherche qui travaillent eux-mêmes avec d’autres méthodes.
Plus d’information:
Pablo Linares et al, Une approche sans diagramme des estimations stochastiques dans les structures de régularité, Inventions mathématiques (2024). DOI : 10.1007/s00222-024-01275-z