Zwei Mathematiker erklären, wie der Bau von Brücken innerhalb der Disziplin dazu beitrug, Fermats letzten Satz zu beweisen

Am 23. Juni 1993 wurde der Mathematiker Andrew Wiles hielt den letzten von drei Vorträgen mit Einzelheiten seine Lösung Zu Fermats letzter Satz, ein Problem, das dreieinhalb Jahrhunderte lang ungelöst geblieben war. Die Ankündigung von Wiles sorgte sowohl innerhalb als auch außerhalb für Aufsehen mathematische Gemeinschaft Und in den Medien.

Wiles‘ Arbeit bietet nicht nur eine zufriedenstellende Lösung für ein seit langem bestehendes Problem, sondern markiert auch einen wichtigen Moment beim Schlagen einer Brücke zwischen zwei wichtigen, aber scheinbar sehr unterschiedlichen Bereichen der Mathematik.

Die Geschichte zeigt, dass viele der größten Durchbrüche in der Mathematik darin bestehen, Verbindungen zwischen scheinbar unterschiedlichen Zweigen des Fachs herzustellen. Diese Brücken ermöglichen es Mathematikern, z die Zwei von unsum Probleme von einem Zweig zum anderen zu transportieren und Zugang zu neuen Werkzeugen, Techniken und Erkenntnissen zu erhalten.

Was ist Fermats letzter Satz?

Der letzte Satz von Fermat ähnelt dem Satz des Pythagoraswas besagt, dass die Seiten jedes rechtwinkligen Dreiecks eine Lösung der Gleichung x2 + y2 = z2 ergeben.

Jedes unterschiedlich große Dreieck ergibt eine andere Lösung, und tatsächlich gibt es solche unendlich viele Lösungen wobei alle drei von x, y und z ganze Zahlen sind – das kleinste Beispiel ist x=3, y=4 und z=5.

Im letzten Satz von Fermat geht es darum, was passiert, wenn sich der Exponent auf etwas größer als 2 ändert. Gibt es ganzzahlige Lösungen für x3 + y3 = z3? Was ist, wenn der Exponent 10, 50 oder 30 Millionen beträgt? Oder ganz allgemein: Was ist mit jeder positiven Zahl größer als 2?

Um das Jahr 1637 Pierre de Fermat behauptete, die Antwort sei „Nein“, es gebe keine drei positiven ganzen Zahlen, die eine Lösung für xn + yn = zn für jedes n größer als 2 seien. Der französische Mathematiker hat diese Behauptung niedergeschrieben in die Ränder seiner Kopie von a Mathematiklehrbuch aus dem antiken Griechenlandund erklärte, er habe einen wunderbaren Beweis dafür, dass der Rand „zu eng sei, um ihn einzudämmen“.

Fermats angeblicher Beweis wurde nie gefunden und sein „letzter Satz“ am Rande, posthum veröffentlicht von seinem Sohn, quälte die Mathematiker jahrhundertelang.

Auf der Suche nach einer Lösung

In den nächsten 356 Jahren konnte niemand Fermats fehlenden Beweis finden, aber auch niemand konnte ihm das Gegenteil beweisen – nicht einmal Homer Simpson. Der Satz erlangte schnell den Ruf, dass er unglaublich schwierig oder sogar unmöglich zu beweisen sei Tausende von falschen Beweisen vorbringen. Der Satz erhielt sogar einen Platz im Guinness-Buch der Rekorde als „schwierigste Matheaufgabe.“

Das heißt nicht, dass es keine Fortschritte gegeben hätte. Fermat selbst hatte es für n=3 und n=4 bewiesen. Viele andere Mathematiker, darunter auch der Vorreiter Sophie Germaintrug Beweise für einzelne Werte von n bei, inspiriert von Fermats Methoden.

Für Mathematiker reicht es jedoch nicht aus, zu wissen, dass Fermats letzter Satz für bestimmte Zahlen gilt – wir müssen wissen, dass er für unendlich viele von ihnen gilt. Mathematiker wollten einen Beweis, der für alle Zahlen größer als 2 auf einmal funktionieren würde, aber jahrhundertelang schien es, als ob kein solcher Beweis gefunden werden konnte.

Gegen Ende des 20. Jahrhunderts deutete jedoch eine wachsende Zahl von Arbeiten darauf hin, dass Fermats letzter Satz wahr sein sollte. Im Mittelpunkt dieser Arbeit stand die sogenannte Modularitätsvermutung, auch bekannt als die Taniyama-Shimura-Vermutung.

Eine Brücke zwischen zwei Welten

Die Modularitätsvermutung schlug eine Verbindung zwischen zwei scheinbar nicht zusammenhängenden mathematischen Objekten vor: Elliptische Kurven Und modulare Formen.

Elliptische Kurven sind weder Ellipsen noch Kurven. Es handelt sich um ringförmige Lösungsräume kubischer Gleichungen wie y2 = x3—3x + 1.

Eine Modulform ist eine Art Funktion, die bestimmte komplexe Zahlen – Zahlen mit zwei Teilen: einem Realteil und einem Imaginärteil – aufnimmt und eine andere komplexe Zahl ausgibt. Das Besondere an diesen Funktionen ist, dass sie es sind hoch symmetrischwas bedeutet, dass es viele Bedingungen dafür gibt, wie sie aussehen können.

Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass diese beiden Konzepte zusammenhängen, aber das ist so was die Modularitätsvermutung implizierte.

Endlich ein Beweis

Die Modularitätsvermutung scheint nichts über Gleichungen wie xn + yn = zn auszusagen. Doch Arbeiten von Mathematikern in den 1980er Jahren zeigten einen Zusammenhang zwischen diesen neuen Ideen und Fermats altem Theorem.

Zunächst im Jahr 1985 Gerhard Frey erkannte Wenn Fermat falsch lag und es eine Lösung für xn + yn = zn für ein n größer als 2 geben könnte, würde diese Lösung eine eigenartige elliptische Kurve erzeugen. Dann Kenneth Ribet zeigte 1986, dass eine solche Kurve in einem Universum, in dem auch die Modularitätsvermutung zutrifft, nicht existieren kann.

Ihre Arbeit implizierte, dass, wenn Mathematiker die Modularitätsvermutung beweisen könnten, Fermats letzter Satz wahr sein müsste. Für viele Mathematiker, darunter auch Andrew Wiles, wurde die Arbeit an der Modularitätsvermutung zu einem Weg, den letzten Satz von Fermat zu beweisen.

Wiles arbeitete sieben Jahre lang, meist im Geheimenund versucht, diese schwierige Vermutung zu beweisen. 1993 war er kurz davor, einen Spezialfall der Modularitätsvermutung zu beweisen – und das war alles, was er brauchte, um Fermats letzten Satz zu beweisen.

Er präsentierte seine Arbeit in einem Vortragsreihe am Isaac Newton Institute im Juni 1993. Obwohl eine anschließende Peer-Review eine Lücke in Wiles‘ Beweisen ergab, stellten Wiles und sein ehemaliger Student fest Richard Taylor arbeitete noch ein Jahr daran Füllen Sie diese Lücke und Fermats letzten Satz als mathematische Wahrheit zu festigen.

Bleibende Folgen

Die Auswirkungen von Fermats letztem Satz und seiner Lösung wirken sich weiterhin auf die Welt der Mathematik aus. Im Jahr 2001 gab eine Gruppe von Forschern, darunter Taylor, eine ganz bewiesen von die Modularitätsvermutung in einem Reihe von Aufsätzen die von Wiles‘ Arbeit inspiriert wurden. Diese vollendete Brücke zwischen elliptischen Kurven und Modulformen war – und wird auch weiterhin – grundlegend für das Verständnis der Mathematik sein, sogar über Fermats letzten Satz hinaus.

Wiles‘ Werk wird als Anfang zitiert „eine neue Ära in der Zahlentheorie“ und ist von zentraler Bedeutung für wichtige Teile der modernen Mathematik, einschließlich eines weit verbreiteten Verschlüsselungstechnik und ein riesiger Forschungsaufwand, bekannt als Langlands-Programm Ziel ist es, eine Brücke zwischen zwei grundlegenden Bereichen der Mathematik zu schlagen: der algebraischen Zahlentheorie und der harmonischen Analyse.

Obwohl Wiles größtenteils isoliert arbeitete, brauchte er letztendlich die Hilfe seiner Kollegen, um die Lücke in seinem Originalbeweis zu identifizieren und zu schließen. Mathematik ist heute zunehmend ein Thema gemeinsames Unterfangen, was sich daran zeigt, was nötig war, um die Modularitätsvermutung zu beweisen. Die Probleme sind groß und komplex und erfordern oft vielfältiges Fachwissen.

Hatte Fermat schließlich wirklich einen Beweis für seinen letzten Satz, wie er behauptete? Angesichts dessen, was Mathematiker heute wissen, glauben viele von uns heute nicht, dass er es wusste. Obwohl Fermat brillant war, lag er manchmal falsch. Mathematiker können akzeptieren, dass er glaubte, einen Beweis zu haben, aber es ist unwahrscheinlich, dass sein Beweis einer modernen Prüfung standhalten würde.

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