Wenn sich gekrümmte Materialien abflachen, kann eine einfache Geometrie die entstehenden Faltenmuster vorhersagen

Ein von Natur aus flaches Objekt, beispielsweise ein Stück Papier, kann zu einem Zylinder geformt werden, ohne ihn zu dehnen oder zu zerreißen. Dasselbe gilt jedoch nicht für etwas, das an sich gekrümmt ist, wie eine Kontaktlinse. Wenn sie zwischen zwei flachen Oberflächen zusammengedrückt oder auf Wasser gelegt werden, werden gekrümmte Objekte flach, aber mit Falten, die sich bilden, wenn sie sich verziehen.

Nun haben Untersuchungen der University of Pennsylvania, der University of Illinois Chicago (UIC) und der Syracuse University gezeigt, dass es mit einer einfachen Geometrie möglich ist, die Muster dieser Falten vorherzusagen, sowohl wo sie sich bilden werden als auch in einigen Fällen ihre Richtung. Die Ergebnisse, veröffentlicht in Naturphysikhaben eine Reihe von Auswirkungen, von der Wechselwirkung von Materialien mit Feuchtigkeit und der Reflexion von Sonnenlicht in der Natur bis hin zur Art und Weise, wie sich eine flexible Elektronik verbiegen kann.

„Das Schöne an dieser Arbeit ist, wie einfach sie wirklich ist“, sagt Eleni Katifori, außerordentliche Professorin am Department of Physics & Astronomy von Penn. „Was dahinter steckt, ist sehr kompliziert, die Physik, die durch diese Regeln übersetzt wird, haben wir gefunden, aber die Regeln selbst sind sehr einfach. Es ist inspirierend.“

Treffen der Köpfe

Seit ihrer Promotion Arbeit interessierte sich Katifori für die Mechanik, wie sich dünne Membranen krümmen. Obwohl dies eine Kuriosität blieb, wandte sich ihr Forschungspfad stattdessen in Richtung Fluidströmungsnetzwerke. Dann, während sie an einem Projekt mit Penn-Kollege Randall Kamien und Postdoktorandin Hillel Aharoni zusammenarbeitete, beobachtete Katifori etwas, das sie sich damals nicht erklären konnte. „Das heißt, wir haben bemerkt, dass sich Falten in Domänen bilden“, sagt sie.

Mit anderen Worten, wenn eine gekrümmte Oberfläche abgeflacht wird, führt dies zu überschüssigem Material und daraus resultierenden Falten. Diese Falten treten in Mustern oder Sektoren auf. „Die Frage war, warum ordnen sich die Falten auf diese Weise an?“ sagt Katifori. „Wir haben nicht verstanden, wie wichtig die Domänen in der Faltenbildung wirklich sind.“

Auf einer Konferenz im Jahr 2016 hörte der Mathematiker Ian Tobasco, Assistenzprofessor an der UIC, einen Vortrag von Aharoni zu diesem Thema. „Es war das erste Mal, dass ich dieses Modellsystem präsentiert sah“, sagt Tobasco. „Ich fand es wirklich cool.“ Mitte 2017 veröffentlichten Katifori, Aharoni und Kollegen Ergebnisse zu diesem Thema in Naturkommunikationdann traf Tobasco bei einem Workshop später in diesem Jahr Joseph Paulsen aus Syracuse, der vorläufige Daten zu den Experimenten vorgelegt hatte, die seine Gruppe zu Falten durchgeführt hatte.

Anfang 2018 begann Tobasco ernsthaft an einer mathematischen Theorie für Falten zu arbeiten, und beim Mittagessen auf einer Konferenz in diesem Sommer stimmten Katifori, Tobasco und Paulsen zu, dass sie ein gemeinsames Interesse an diesem Problem hatten. Sie beschlossen, zusammenzuarbeiten, wobei sie sich darauf konzentrierten, zu analysieren, wie sehr die physische Form des Materials und die Krümmung, von der es ausgeht, für die Faltenmuster von Bedeutung sein könnten.

Durcharbeiten des Problems

Bei bestimmten Hintergründen kann die Krümmung positiv sein, wie die Rundung eines Baseballs oder eines Globus, oder negativ, wie ein Pferdesattel oder die Stelle auf einer Glasflasche, an der der Hals auf die Basis trifft. Es gibt auch flaches Material, wie ein Stück Papier.

In dieser Arbeit konzentrierten sich die Forscher auf positiv und negativ gekrümmte Schalen.

Von jedem entfernten sie dann Grundformen wie Dreiecke, Quadrate und Ovale. „Denken Sie an einen Ausstecher. Sagen wir, ich nehme ein Objekt mit einer positiven oder negativen Krümmung, dann schneide ich eine dieser Formen aus und trage sie auf Flüssigkeit auf“, sagt Katifori. Wäre es möglich, die Faltenmuster zu erraten und die Richtung zu berechnen, in die die Falten fließen würden? Für jede Form löste Tobasco die Theorie auf der Grundlage der grundlegenden Prinzipien, die er ausgearbeitet und veröffentlicht hatte, und erstellte dann Vorhersagen.

Basierend auf diesen Erkenntnissen führten Katifori und Penn Postdoktorandin Desislava Todorova dann Simulationen durch und gaben individuelle Formen und Parameter in ein Computerprogramm ein. Ähnliche Arbeiten wurden im Labor von Paulsen, einem Assistenzprofessor für Physik in Syracuse, durch Experimente durchgeführt, die er auf Polystyrolfolie durchführte, die 1.000 Mal dünner als ein Blatt Papier war. „Sie ist aus dem gleichen Material wie Verpackungserdnüsse“, sagt Tobasco, „aber anstatt der dreidimensionalen Form einer Verpackungserdnuss, stellen Sie sich vor, sie wäre flach wie ein Blatt.“

Durch die Simulationen, Experimente und viel Hin und Her, um den Prozess zu verfeinern und die ursprüngliche Theorie zu erweitern, begann das Trio zu erkennen, dass sie durch die Anwendung einfacher geometrischer Prinzipien im Voraus wissen konnten, welches Muster die Falten annehmen würden und für eine Teilmenge – was sie als „geordnete“ Falten bezeichnen – in welche Richtung sie verlaufen würden.

Die geometrischen Prinzipien

Um eines dieser Prinzipien zu erklären, verwendet Katifori ein fünfseitiges Polygon. „Zuerst schreibe ich einen Kreis in das Polygon“, sagt sie. „Die Punkte, an denen dieser Kreis die Kanten des Polygons berührt, bestimmen, wo ich meine Linien zeichne.“ Sie hält inne, um eine zweite Form innerhalb der ersten zu schaffen, diese mit vier unebenen Seiten; Sie beginnt jede Linie dort, wo sich der Kreis und das äußere Polygon treffen, und verbindet alle vier inneren Linien. „Jetzt habe ich ein, zwei, drei, vier, fünf Domänen“, fährt sie fort und weist auf das Quintett der neu abgesperrten Abschnitte hin.

Bei einfachen Formen wie dieser enthalten die äußeren Abschnitte geordnete Falten, die organisiert und ordentlich sind und der Richtung der inneren Linien folgen, die Katifori gezeichnet hat. Innerhalb des neuen inneren Polygons bilden sich immer noch Falten, aber sie bleiben ungeordnet und unvorhersehbar.

Tobasco weist auf ein weiteres Beispiel hin, von dem er feststellte, dass es universell für Formen gilt, die aus negativ gekrümmten Schalen geschnitten wurden. „Am Ende ist es sehr einfach, die Faltenmuster vorherzusagen. Alles, was Sie tun müssen, ist Liniensegmente zu zeichnen, die im rechten Winkel auf die Grenze treffen.“ Mit anderen Worten, beginnen Sie an einem Punkt innerhalb der Form und ziehen Sie eine direkte Linie zum Rand der Form, aber nur an einer Stelle, an der sich dann ein rechter Winkel bildet.

Das Team brauchte ein Jahr, um das zu verstehen. „Die Gleichungen, die das Layout von Falten bestimmen, sind furchtbar zu lösen, und viele der Muster, die wir in unseren Experimenten und Simulationen beobachtet haben, sind ziemlich kompliziert“, sagt Paulsen. „Aber es stellt sich heraus, dass man unter bestimmten Bedingungen das Faltenlayout mit einem einfachen Regelwerk vorhersagen kann. Das bedeutet, dass wir jetzt eine schnelle und effiziente Möglichkeit haben, Faltenmuster zu entwerfen.“

„Seine Einfachheit ist schön und auch nützlich“, fügt er hinzu, insbesondere für zerknitterte Oberflächen, die eine Funktion erfüllen, wie z. B. Adhäsion oder Flüssigkeitsfluss.

Katifori nennt ähnliche Beispiele. „Nehmen wir an, es gibt Feuchtigkeit oder Feuchtigkeit in der Luft. Wasser verhält sich in den Tälern und Hügeln einer geriffelten Oberfläche anders“, sagt sie. „Indem Sie das Faltenmuster kontrollieren, können Sie vielleicht beeinflussen, wie das Wasser kondensiert.“

Was kommt als nächstes

Die Forscher müssen noch mehr über diese komplexen strukturierten Oberflächen verstehen, etwa wie man Muster aus ungeordneten Falten zieht, warum geordnete und ungeordnete Domänen koexistieren können und warum es eine „Reziprozität“ gibt, die negativ und positiv gekrümmte Schalen verbindet, was einmal das Muster für eine bedeutet bestimmt ist, ist es einfach, das Muster für den anderen vorherzusagen.

Im Moment sagen sie jedoch, dass sie über das Potenzial für das, was sie bis jetzt gelernt haben, aufgeregt sind.

„Sie haben eine komplizierte Theorie, die am Ende des Tages auf relativ einfache Mathematik hinausläuft, die fast jeder mit einem Kompass und einem Lineal machen kann“, sagt Katifori. „Es ist eine elegante und schöne Lösung für ein komplexes Problem.“