Von Verbrennungen zur Wellennatur der Hitze – über die Telegraphengleichung

Wenn sich uns ein Zug oder ein Krankenwagen mit heulendem Martinshorn nähert, hören wir das Geräusch mit erhöhter Frequenz, die allmählich etwas abnimmt. Beim Vorbeifahren ändert sich die Frequenz abrupt zu einer niedrigeren und nimmt dann weiter ab. Dieser häufig auftretende Dopplereffekt kann ein wertvoller Hinweis auf die Natur eines Phänomens sein, das scheinbar überhaupt nichts mit der Schallausbreitung zu tun hat: Wärmetransport.

Verbrennungen sind für niemanden angenehm, für Physiker sind sie jedoch doppelt belastend: Sie leiden nicht nur auf normale Weise, sondern wissen darüber hinaus noch immer nicht, welcher Mechanismus für den Wärmetransport in so komplexen Systemen wie biologischem Gewebe verantwortlich ist.

Handelt es sich hierbei um Diffusion, also die Ausbreitung zunächst zusammengeballter Materiemoleküle? Oder sind für den Wärmetransport Wellenphänomene verantwortlich, wie man sie aus der Akustik kennt?

Eine Gruppe von drei Theoretikern des Instituts für Kernphysik der Polnischen Akademie der Wissenschaften (IFJ PAN) in Krakau beschloss, das Problem des Wärmetransports mithilfe der Telegraphengleichung und des Doppler-Effekts anzugehen, die uns aus dem Alltag (und der Grundschule) wohlbekannt sind. Die Ergebnisse der Arbeit des Teams wurden gerade veröffentlicht. veröffentlicht im Internationale Zeitschrift für Wärme- und Massenübertragung.

In der Physik wird die Wellenbewegung durch eine Gleichung beschrieben, die als Wellengleichung bezeichnet wird. Als sich die Telegrafentechnologie in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts entwickelte, wurde klar, dass diese Gleichung zur Beschreibung einer in Morsecode übertragenen Nachricht modifiziert werden musste, um die Dämpfung des Stroms zu berücksichtigen, der durch das Medium fließt, in dem er sich ausbreitet, d. h. durch das Telegrafenkabel.

Mit Blick auf die Telekommunikation wurde dann die Telegraphengleichung entwickelt, um zu beschreiben, wie sich elektrischer Strom gedämpft entlang einer räumlichen Dimension ausbreitet.

„In den letzten Jahren hat die geschickt verallgemeinerte Telegraphengleichung eine neue Anwendung gefunden: Man hat begonnen, sie auch zur Beschreibung von Phänomenen im Zusammenhang mit Diffusion oder Wärmetransport zu verwenden. Diese Tatsache hat uns dazu angespornt, eine faszinierende Frage zu stellen“, sagt Dr. Katarzyna Gorska (IFJ PAN).

„Bei Lösungen der Wellengleichung, also ohne Dämpfung, tritt der Dopplereffekt auf. Das ist ein typisches Wellenphänomen. Aber tritt er auch bei Lösungen von Telegraphengleichungen auf, die mit dem Wärmetransport zusammenhängen? Wenn ja, hätten wir einen hervorragenden Hinweis darauf, dass es zumindest aus theoretischer Sicht keinen Grund zu der Annahme gibt, dass in Systemen mit Dämpfung – beispielsweise in biologischem Gewebe – der Wärmefluss nicht als Wellenphänomen behandelt werden könnte.“

Der klassische Dopplereffekt ist die scheinbare Frequenzänderung von Wellen, die von einer Quelle ausgesendet werden, die sich relativ zu einem Beobachter bewegt. Wenn der Abstand zwischen Quelle und Beobachter abnimmt, erreichen die Maxima und Minima der ausgesendeten Wellen den Empfänger häufiger, als wenn der Abstand zwischen Quelle und Beobachter zunimmt. Bei Schallwellen können wir deutlich hören, dass das Geräusch eines herannahenden Zuges oder die Sirene eines sich schnell nähernden Krankenwagens merklich höhere Frequenzen haben, als wenn sich diese Fahrzeuge von uns wegbewegen.

Prof. Andrzej Horzela (IFJ PAN) weist darauf hin: „Das Doppler-Phänomen tritt in Wellengleichungen auf, die wir als lokal bezeichnen. Lokal verstehen wir hier in dem Sinne, dass es zwischen Aktion und Reaktion keine Verzögerung gibt. Die Prinzipien der Mechanik beispielsweise sind lokal – eine Änderung der resultierenden Kraft, die auf einen Körper einwirkt, führt unmittelbar zu einer Änderung seiner Beschleunigung.

„Wir wissen jedoch alle, dass wir eine heiße Tasse anfassen können und dass ein oder zwei Sekunden vergehen, bevor wir spüren, wie sie brennt. Das Phänomen weist eine gewisse Verzögerung auf; wir sagen, es ist nicht lokal, mit anderen Worten zeitlich verschmiert. Sehen wir daher den Doppler-Effekt in der verallgemeinerten Telegraphengleichung, die zeitlich verschmierte Systeme beschreibt?“

Leicht zu fragen, schwerer zu beantworten. Das Problem liegt in der Mathematik selbst. Wenn wir in Gleichungen nur Ableitungen und Konstanten haben, ist es normalerweise nicht schwer, Lösungen zu finden. Dies ist bei der Wellengleichung der Fall. Die Sache wird komplizierter, wenn die Gleichung nur Integrale enthält, aber selbst dann kommt man oft zurecht. In der verallgemeinerten Telegraphengleichung treten Ableitungen und Integrale gleichzeitig auf.

Im Mittelpunkt der Arbeit der Krakauer Physiker stand daher der Beweis, dass Lösungen der verallgemeinerten Telegraphengleichung aus viel einfacheren Lösungen der lokalen Gleichung konstruiert werden können. Eine Schlüsselrolle spielte dabei das in der stochastischen Prozesstheorie als Subordination bekannte Verfahren.

Das folgende Beispiel hilft uns, das Konzept der Unterordnung zu verstehen. Stellen Sie sich einen Mann vor, der zu viel getrunken hat, aber tapfer versucht, geradeaus zu gehen. Er macht einen Schritt und bleibt stehen, während er wartet, bis die Welt aufhört, sich zu drehen. Dann macht er einen weiteren Schritt, wahrscheinlich etwas länger oder kürzer als der vorherige, und bleibt erneut für eine unbestimmte Zeit stehen.

Die mathematische Beschreibung einer solchen Bewegung, die man als zufälliges Wandern bezeichnet, muss keineswegs trivial sein. Entscheidend ist allerdings nicht, wie viel Zeit unser „Wanderer“ an einem bestimmten Ort verbringt, sondern welche Distanz er letztendlich zurücklegt.

Wäre die Zeit zwischen den Schritten gleich, wäre die Beschreibung der Bewegung des Matrosen einfacher und würde der Bewegung einer nüchternen Person entsprechen – sie wäre lediglich die Summe einer Abfolge aufeinanderfolgender, reibungslos aufeinander folgender Schritte.

„Bei unserem Ansatz besteht die Unterordnung darin, die gleichmäßig verstreichende physikalische Zeit, in der die Gleichungen kompliziert sind, durch eine bestimmte intrinsische Zeit zu ersetzen, die mit der physikalischen Zeit verknüpft ist. Dies tun wir mithilfe einer geeigneten Funktion, die Informationen über die zeitliche Nichtlokalität des Prozesses enthält. Dieses Verfahren vereinfacht die Gleichungen in eine Form, die es ermöglicht, ihre Lösungen zu finden“, sagt der Co-Autor des Papiers, Tobiasz Pietrzak, M.Sc., ein Student der Krakauer Interdisziplinären Doktorandenschule.

Lösungen der gewöhnlichen Telegraphengleichung weisen typische Merkmale des Dopplereffekts auf. Sie zeigen das Vorhandensein einer klaren, scharfen Frequenzbiegung, die dem Moment entspricht, in dem die Quelle am Beobachter vorbeigeht und es zu einer sofortigen, abrupten Änderung der Tonhöhe des vom Beobachter aufgezeichneten Tons kommt.

Ein analoges Verhalten wurde von den Krakauer Physikern bei den Lösungen der verallgemeinerten Gleichung beobachtet. Es scheint daher, dass der Dopplereffekt ein grundlegendes Merkmal der Wellenbewegung ist. Doch das ist nicht alles. In der physikalischen Welt hat jede Welle ihre Wellenfront, die, etwas vereinfacht, durch ihren Anfang und ihr Ende identifiziert werden kann. Wenn wir die Vorderseite der Welle (und damit ihre Wellenfront) betrachten, ist die Dopplerverschiebung leicht zu erkennen.

Es zeigt sich, dass Änderungen der Wellenfrequenz aufgrund von Änderungen der Entfernung zwischen dem Beobachter und der Quelle auch bei Wellen auftreten, die nicht die Existenz einer Wellenfront aufweisen, z. B. über eine unbegrenzte Fläche definiert sind.

Die Erforschung der Wellenaspekte der Wärmeausbreitung mag zwar eine sehr abstrakte Überlegung sein, doch ihre Umsetzung in die alltägliche Praxis scheint durchaus realistisch. Physiker des IPJ PAN weisen darauf hin, dass die gewonnenen Erkenntnisse insbesondere in Situationen eingesetzt werden können, in denen es um den Transport von Wärme über kurze Distanzen geht.

Beispiele hierfür sind medizinische Anwendungen, bei denen ein besseres Verständnis der Wärmetransportmechanismen die Entwicklung sicherer Techniken für den Umgang mit chirurgischen Laserinstrumenten oder die Suche nach einer Methode zur effizienteren Ableitung überschüssiger Wärme aus verbranntem Gewebe ermöglichen könnte. Auch die Kosmetik, die daran interessiert ist, unerwünschte thermische Effekte bei kosmetischen Eingriffen zu minimieren, könnte hiervon profitieren.