Studie enthüllt die Existenz der Schwalbenschwanzkatastrophe in nicht-hermiteschen Systemen

Forscher der Hong Kong University of Science and Technology, der Xiangtan University und der Southern University of Science and Technology haben kürzlich einen möglichen Zusammenhang zwischen der Katastrophentheorie, einem Bereich der Mathematik, der sich auf die Modellierung plötzlicher Veränderungen (d. h. Katastrophen) konzentriert, und der nicht-hermiteschen Physik aufgedeckt. Ihr Artikel, veröffentlicht in Naturphysikzeigt insbesondere, dass eine strukturreiche Entartung, bekannt als Schwalbenschwanzkatastrophe, natürlicherweise in nicht-hermiteschen Systemen existieren kann.

„Unsere Arbeit wurde von früheren Forschungen inspiriert, die die Homotopietheorie zur Klassifizierung topologischer Singularitäten nutzten, eine Technik, die zur Untersuchung von Defekten in Flüssigkristallen wie Disklinationen und Versetzungen verwendet wurde“, sagte Hongwei Jia, einer der Forscher, die die Studie durchführten Phys.org. „Die Homotopietheorie wurde auch in der Bandentheorie angewendet zur Untersuchung der nicht-abelschen Bandtopologie. Aufbauend auf diesen früheren Arbeiten versuchten wir, den Ansatz zu erweitern, um die Singularitäten (manifestiert als Entartungen, sogenannte Ausnahmepunkte) in nicht-hermiteschen Systemen zu verstehen.“

Im Wesentlichen wollten Jia, Chan und ihre Kollegen das Konzept einer Eigenvektorrahmenrotation entlang einer Schleife, die eine Singularität (dh einen Punkt, an dem eine Funktion „springt“ oder „kollabiert“) umkreisen, auf nicht-hermitesche Systeme anwenden. Während in anderen neueren Studien zu hermiteschen Systemen die Eigenvektoren reell und orthogonal waren und die orthonormale Basis eines euklidischen Raums bildeten, stellt die Anwendung dieser Eigenvektorrahmenrotation auf nicht-hermitesche Systeme eine Reihe von Herausforderungen dar.

„In diesen nicht-hermiteschen Systemen sind die Eigenvektoren nicht orthogonal, da die orthogonale Beziehung der Eigenvektoren durch ein unbestimmtes inneres Produkt vom Minkowski-Typ definiert wird. Somit dreht sich das Eigenvektorsystem entlang eines geschlossenen Pfades nicht nur, sondern verformt sich auch. Insbesondere „Wenn der Weg auf außergewöhnliche Oberflächen trifft, verschmelzen die Eigenvektoren“, erklärte Jia.

„Dies stellt ein ernstes Problem dar, da herkömmliche homotopische Schleifen niemals Entartungen durchschneiden. Dies lässt sich jedoch in unserem Fall nicht vermeiden, da die betrachteten Entartungslinien vollständig auf außergewöhnlichen Oberflächen eingebettet sind. Bei der Bewältigung dieser mathematisch anspruchsvollen Schwierigkeiten suchten wir die Hilfe des Mathematikers.“ Yifei Zhu. Diese Zusammenarbeit zwischen Physikern und Mathematikern führte zu neuen Erkenntnissen über die topologischen Eigenschaften von Singularitäten in nicht-hermiteschen Systemen.“

In Zusammenarbeit mit Zhu, Jia, Chan und ihren Kollegen machten sie sich daran, das Auftreten von Entartungen, sogenannte außergewöhnliche Oberflächen, isolierte und nicht isolierte Singularitäten, in nicht-hermiteschen Systemen und die Abhängigkeit dieser Entartungen von der Symmetrie zu untersuchen. Um dies zu erreichen, verfolgten sie die Nullstellen in der Diskriminante des charakteristischen Polynoms von Hamilton-Matrizen unter bestimmten Symmetrien im Parameterraum.

„Wir haben viele mathematische Experimente mit verschiedenen Werkzeugen wie Mathematiksoftware, Papiermodellen und 3D-Druck durchgeführt“, sagte Jia. „Durch die Analyse expliziter Beispiele von Hamilton-Operatoren mit spezifischen Symmetrien haben wir herausgefunden, dass das Auftreten dieses Singularitätsmerkmals in nicht-hermiteschen Systemen mit unseren gewählten Symmetrien universell ist. Wir haben auch gezeigt, dass es an Spitzen von außergewöhnliche Linien dritter Ordnung (EL3) geben kann außergewöhnliche Oberflächen, nicht fehlerhafte Schnittlinien (NIL), an denen sich außergewöhnliche Oberflächen quer schneiden, und Knotenlinien (NL), die von außergewöhnlichen Oberflächen isoliert sind.

Die von Jia und seinen Kollegen durchgeführten Experimente und Berechnungen brachten mehrere interessante Erkenntnisse. Erstens stellte das Team fest, dass die von ihnen beobachteten unterschiedlichen Entartungslinien immer an einem einzigen Treffpunkt stabil verbunden werden können und dass diese einzigartige Struktur durch Symmetrie geschützt ist.

„Wir haben beobachtet, dass sich die außergewöhnlichen Oberflächen in einer Schwalbenschwanzkonfiguration schneiden, was an die Schwalbenschwanzkatastrophe in der Mathematik und Katastrophentheorie (insbesondere in der ADE-Klassifizierung) erinnert“, sagte Jia. „Es gibt jedoch bemerkenswerte Unterschiede zwischen unserem Fall und der Schwalbenschwanzkatastrophe in der ADE-Klassifizierung, da letztere durch die Untersuchung des Ortes mehrerer Wurzeln eines quartischen Polynoms beschrieben wird, während unser Fall aus den von uns untersuchten Symmetrien entsteht, die Informationen über Eigenvektorentwicklungen kodieren.“ “

Die jüngste Arbeit dieses Forscherteams stellt eine Verbindung zwischen der mathematischen Katastrophentheorie und der nicht-hermitianischen Physik her, zwei Forschungsbereichen, die zuvor als nicht miteinander verbunden galten. Mithilfe homotopischer Methoden versuchte das Team, ein topologisches Verständnis nicht-isolierter Singularitäten in nicht-hermiteschen Systemen zu erlangen.

Jia und seine Kollegen enthüllten schließlich mehrere interessante neue Übergänge, die innerhalb der Schwalbenschwanzstruktur der von ihnen beobachteten Katastrophe stattfinden. Bemerkenswert ist, dass diese kontraintuitiven Übergangsphänomene auf eine Weise geschützt sind, die frühere Forschungen noch nicht identifiziert hatten.

„Diese Arbeit ist das Ergebnis einer Zusammenarbeit zwischen mir und meinem Physikkollegen Che Ting Chan und dem Mathematiker Yifei Zhu“, sagte Jia. „Die Einführung der Schnitthomotopietheorie durch Yifei ist entscheidend für die Lösung des Problems. Wir haben unsere Theorie der Eigenrahmenverformung und -rotation mit der Schnitthomotopie kombiniert und erfolgreich gezeigt, dass das interessante Übergangsphänomen in einem Schwalbenschwanz topologisch geschützt ist. Wir glauben, dass dies der Fall sein könnte.“ Es werden weitere interessante physikalische Phänomene sein, die auf diesen Plattformen entdeckt werden können. Unser ergänzendes Wissen wird es uns ermöglichen, dieses noch unbekannte Forschungsgebiet weiter zu erforschen.“

Die Schwalbenschwanzkatastrophe, die Jia und seine Kollegen in nicht-hermiteschen Bändern beobachteten, ist eine völlig neue Art topologischer lückenloser Phase. Weitere Untersuchungen dieser Phase könnten möglicherweise neue physikalische Phänomene und Effekte aufdecken. Die Forscher führen derzeit Studien durch, die sich auf zwei faszinierende Phänomene konzentrieren. Das erste davon ist die Korrespondenz zwischen Masse und Kante in dieser neuen Art von lückenloser Phase.

„Wir untersuchen, ob die lückenlosen Phasen, die einer Schwalbenschwanzstruktur innewohnen, auch topologische Randzustände unterstützen können“, sagte Jia. „Das zweite Phänomen, das wir untersuchen, ist der unkonventionelle Bulk-Fermi-Bogen, der das Paar außergewöhnlicher Linien dritter Ordnung an gepaarten Spitzen verbindet.“

Die von diesem Forscherteam gesammelten Erkenntnisse könnten nicht nur als Grundlage für zukünftige Physikstudien dienen, sondern auch zu neuen Forschungen auf dem Gebiet der Mathematik führen. Jia und seine Kollegen sind der Meinung, dass die mathematische Komponente ihrer Arbeit immer noch ad hoc und unvollständig ist, und sie planen, sie in ihren nächsten Arbeiten weiterzuentwickeln.

„Obwohl die Untersuchungsobjekte theoretisch bereits rein mathematisch (in der ADE-Klassifizierung) formuliert werden können, ergibt diese Formulierung nur die scheinbar vergleichbare Struktur, während die zugrunde liegenden Merkmale sich deutlich vom aktuellen Fall unterscheiden“, erklärte Jia. „Zum Beispiel ist der Treffpunkt des Schwalbenschwanzes in der ADE-Klassifikation ein außergewöhnlicher Punkt der Ordnung vier, der des aktuellen Schwalbenschwanzes ist jedoch eine dreifache Entartung, die zwei linear unabhängige Eigenzustände liefert.“

„Es wäre eine echte Herausforderung und Chance, unter dieser Spitze eines Eisbergs an mathematisch systematische, physikalisch sinnvolle und experimentell realisierbare Strukturen zu gelangen. Wir glauben auch, dass die algebraische Methode, die Schnitthomotopie/Homologie, weiterentwickelt werden sollte, weil sie ist ein leistungsstarkes Werkzeug zum Verständnis solcher nicht isolierten Singularitäten sowohl in der Physik als auch in der Mathematik.“

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