Rekonstruktion der Zustände eines nichtlinearen dynamischen Systems

Wir begegnen oft nichtlinearen dynamischen Systemen, die sich unvorhersehbar verhalten, wie das Erdklima und der Aktienmarkt. Um sie zu analysieren, werden Messungen über die Zeit verwendet, um den Zustand des Systems zu rekonstruieren. Dies hängt jedoch von der Qualität der Daten ab. Jetzt haben Forscher aus Japan eine völlig neue Methode zur Bestimmung der notwendigen Parameter vorgeschlagen, die zu einer genauen Rekonstruktion führt. Ihre neue Technik hat weitreichende Auswirkungen auf den Bereich der Datenwissenschaft.

Viele häufig beobachtete reale Phänomene sind nichtlinearer Natur. Das bedeutet, dass sich ihr Output nicht proportional zu ihrem Input ändert. Diese Modelle sind bis zu einem gewissen Grad unvorhersehbar, da unklar ist, wie das System auf Änderungen seiner Eingabe reagieren wird. Dies ist besonders wichtig bei dynamischen Systemen, bei denen sich die Ausgabe des Modells mit der Zeit ändert. Für solche Systeme müssen die Zeitreihendaten oder die Messungen des Systems über die Zeit analysiert werden, um zu bestimmen, wie sich das System mit der Zeit verändert oder entwickelt.

Aufgrund der Gemeinsamkeit des Problems wurden viele Lösungen vorgeschlagen, um Zeitreihendaten zu analysieren, um ein Verständnis des Systems zu erlangen. Ein Verfahren zum Rekonstruieren des Zustands eines Systems basierend auf Zeitreihendaten ist die Zustandsraumrekonstruktion, die verwendet werden kann, um jene Zustände zu rekonstruieren, bei denen das System über die Zeit stabil oder unverändert bleibt. Solche Zustände sind als „Attraktoren“ bekannt. Die Genauigkeit der rekonstruierten Attraktoren hängt jedoch von den für die Rekonstruktion verwendeten Parametern ab, und aufgrund der Endlichkeit der Daten sind solche Parameter schwer zu ermitteln, was zu ungenauen Rekonstruktionen führt.

Jetzt, in einer neuen Studie, die am 1. April 2022 in veröffentlicht wird Nichtlineare Theorie und ihre Anwendungen, IEICE, Professor Tohru Ikeguchi von der Tokyo University of Science, sein Ph.D. Der Student Mr. Kazuya Sawada von der Tokyo University of Science und Prof. Yutaka Shimada von der Saitama University, Japan, haben die geometrische Struktur des Attraktors verwendet, um die Rekonstruktionsparameter abzuschätzen.

„Um den Zustandsraum mithilfe von Zeitverzögerungs-Koordinatensystemen zu rekonstruieren, müssen zwei Parameter, die Dimension des Zustandsraums und die Verzögerungszeit, angemessen eingestellt werden, was ein wichtiges Thema ist, das auf diesem Gebiet noch aktiv untersucht wird. Wir diskutieren, wie diese Parameter optimal einzustellen, indem man sich auf die geometrische Struktur des Attraktors konzentriert, um dieses Problem zu lösen“, erklärt Prof. Ikeguchi.

Um die optimalen Werte der Parameter zu erhalten, verwendeten die Forscher fünf dreidimensionale nichtlineare dynamische Systeme und maximierten die Ähnlichkeit der Abstandsverteilungen zwischen den Punkten zwischen dem rekonstruierten Attraktor und dem ursprünglichen Attraktor. Als Ergebnis wurden die Parameter so erhalten, dass ein rekonstruierter Attraktor entstand, der dem Original geometrisch so nahe wie möglich kam.

Während die Methode in der Lage war, die geeigneten Rekonstruktionsparameter zu generieren, berücksichtigten die Forscher nicht das Rauschen, das normalerweise in realen Daten auftritt, das die Rekonstruktion erheblich beeinträchtigen kann. „Mathematisch gesehen hat sich diese Methode als gut erwiesen, aber es müssen viele Überlegungen angestellt werden, bevor diese Methode auf die Analyse von Daten aus der realen Welt angewendet werden kann. Dies liegt daran, dass Daten aus der realen Welt Rauschen sowie die Länge und Genauigkeit enthalten der beobachteten Daten ist endlich“, erklärt Prof. Ikeguchi.

Trotzdem löst das Verfahren eine der Einschränkungen, die mit der Bestimmung des Zustands nichtlinearer dynamischer Systeme verbunden sind, die in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, Wirtschaft und Technik angetroffen werden. „Diese Forschung hat eine wichtige Analysetechnik im aktuellen Bereich der Datenwissenschaften hervorgebracht, und wir glauben, dass sie für den Umgang mit einer Vielzahl von Daten in der realen Welt wichtig ist“, schließt Prof. Ikeguchi.