Ob physikalische Phänomene, Aktienkurse oder Klimamodelle – viele dynamische Prozesse unserer Welt lassen sich mithilfe partieller Differentialgleichungen mathematisch beschreiben. Dank der Stochastik – einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Wahrscheinlichkeiten beschäftigt – ist dies sogar dann möglich, wenn bei diesen Prozessen der Zufall eine Rolle spielt.
Seit Jahrzehnten beschäftigen sich Forscher mit sogenannten stochastischen partiellen Differentialgleichungen. Gemeinsam mit anderen Forschern hat Dr. Markus Tempelmayr vom Exzellenzcluster Mathematik Münster der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster nun eine Methode gefunden, mit deren Hilfe sich eine bestimmte Klasse solcher Gleichungen lösen lässt.
Die Ergebnisse wurden veröffentlicht im Journal Erfindungen mathematicae.
Grundlage ihrer Arbeit ist eine Theorie, die Fields-Medaillen-Träger Prof. Martin Hairer 2014 gemeinsam mit internationalen Kollegen entwickelt hat. Sie gilt als großer Durchbruch auf dem Forschungsgebiet singulärer stochastischer partieller Differentialgleichungen. „Bis dahin“, erklärt Tempelmayr, „war es ein Rätsel, wie man diese Gleichungen lösen sollte. Die neue Theorie hat sozusagen einen kompletten ‚Werkzeugkasten‘ an die Hand gegeben, wie man solche Gleichungen angehen kann.“
Das Problem liege darin, so Tempelmayr weiter, dass die Theorie relativ komplex sei, sodass die Anwendung des „Werkzeugkastens“ und die Anpassung an andere Situationen teilweise schwierig seien.
„Daher haben wir in unserer Arbeit Aspekte der ‚Toolbox‘ aus einer anderen Perspektive betrachtet und eine Methode gefunden und bewiesen, die einfacher und flexibler eingesetzt werden kann.“
Die Studie, an der Tempelmayr als Doktorand bei Prof. Felix Otto am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften beteiligt war, erschien 2021 als Vorabdruck. Seitdem haben mehrere Forschungsgruppen diesen alternativen Ansatz erfolgreich in ihrer Forschungsarbeit angewendet.
Mit stochastischen partiellen Differentialgleichungen lassen sich eine Vielzahl dynamischer Prozesse modellieren, beispielsweise das Oberflächenwachstum von Bakterien, die Evolution dünner Flüssigkeitsfilme oder wechselwirkende Teilchenmodelle im Magnetismus. Diese konkreten Anwendungsgebiete spielen in der mathematischen Grundlagenforschung allerdings keine Rolle, da es sich unabhängig davon immer um dieselbe Klasse von Gleichungen handelt.
Die Mathematiker konzentrieren sich darauf, die Gleichungen trotz der stochastischen Terme und der daraus resultierenden Herausforderungen wie etwa überlappenden Frequenzen, die zu Resonanzen führen, zu lösen.
Dabei kommen verschiedene Techniken zum Einsatz. In Hairers Theorie kommen Methoden zum Einsatz, die anschauliche Baumdiagramme ergeben. „Hier kommen Werkzeuge aus den Bereichen der Stochastik, der Algebra und der Kombinatorik zum Einsatz“, erklärt Tempelmayr. Er und seine Kollegen haben sich eher für einen analytischen Ansatz entschieden. Was sie dabei besonders interessiert, ist die Frage, wie sich die Lösung der Gleichung verändert, wenn man den zugrundeliegenden stochastischen Prozess leicht verändert.
Ihr Ansatz bestand nicht darin, die Lösung komplizierter stochastischer partieller Differentialgleichungen direkt in Angriff zu nehmen, sondern stattdessen viele verschiedene einfachere Gleichungen zu lösen und bestimmte Aussagen über sie zu beweisen.
„Die Lösungen der einfachen Gleichungen kann man dann kombinieren – also einfach addieren – und kommt so zu einer Lösung der komplizierteren Gleichung, die uns eigentlich interessiert.“ Dieses Wissen machen sich auch andere Forschergruppen zunutze, die selbst mit anderen Methoden arbeiten.
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Pablo Linares et al., Ein diagrammfreier Ansatz für stochastische Schätzungen in Regularitätsstrukturen, Erfindungen mathematicae (2024). DOI: 10.1007/s00222-024-01275-z