Sie können sich wahrscheinlich an eine Zeit erinnern, in der Sie Mathematik zur Lösung eines alltäglichen Problems eingesetzt haben, beispielsweise zur Berechnung des Trinkgeldes in einem Restaurant oder zur Bestimmung der Quadratmeterzahl eines Zimmers. Doch welche Rolle spielt Mathematik bei der Lösung komplexer Probleme wie der Heilung einer Krankheit?
In meinem Job als Angewandter MathematikerIch verwende mathematische Werkzeuge, um komplexe Probleme in der Biologie zu studieren und zu lösen. Ich habe an Problemen gearbeitet, die Gen- und neuronale Netzwerke betreffen, wie z Interaktionen zwischen Zellen Und Entscheidungsfindung. Dazu erstelle ich Beschreibungen einer realen Situation in mathematischer Sprache. Der Vorgang, eine Situation in eine mathematische Darstellung umzuwandeln, wird als Modellierung bezeichnet.
Reale Situationen in mathematische Begriffe übersetzen
Wenn Sie jemals eine Rechenaufgabe über die Geschwindigkeit von Zügen oder die Kosten von Lebensmitteln gelöst haben, dann ist das ein Beispiel für mathematische Modellierung. Aber bei schwierigeren Fragen kann es schon kompliziert sein, das reale Szenario als mathematische Aufgabe zu schreiben. Dieser Prozess erfordert viel Kreativität und Verständnis des jeweiligen Problems und ist oft das Ergebnis der Zusammenarbeit angewandter Mathematiker mit Wissenschaftlern anderer Disziplinen.
Als Beispiel könnten wir ein Sudoku-Spiel als mathematisches Modell darstellen. Bei Sudoku füllt der Spieler leere Kästchen in einem Rätsel mit Zahlen zwischen 1 und 9 aus, wobei bestimmte Regeln gelten, z. B. dass sich in keiner Zeile oder Spalte Zahlen wiederholen dürfen.
Das Rätsel beginnt mit einigen vorab ausgefüllten Kästchen und das Ziel besteht darin, herauszufinden, welche Zahlen in die restlichen Kästchen passen.
Stellen Sie sich vor, dass eine Variable, beispielsweise x, die Zahl darstellt, die in einem dieser leeren Felder steht. Wir können garantieren, dass x zwischen 1 und 9 liegt, indem wir sagen, dass x die Gleichung (x-1)(x-2) … (x-9)=0 löst. Diese Gleichung ist nur wahr, wenn einer der Faktoren auf der linken Seite Null ist. Jeder der Faktoren auf der linken Seite ist nur dann Null, wenn x eine Zahl zwischen 1 und 9 ist; zum Beispiel (x-1)=0, wenn x=1. Diese Gleichung kodiert eine Tatsache über unser Sudoku-Spiel, und das können wir Codieren Sie die anderen Funktionen des Spiels auf ähnliche Weise. Das resultierende Sudoku-Modell besteht aus einer Reihe von Gleichungen mit 81 Variablen, eine für jedes Kästchen im Puzzle.
Eine andere Situation, die wir modellieren könnten, ist die Konzentration eines Arzneimittels, beispielsweise Aspirin, im Blutkreislauf einer Person. In diesem Fall würde uns interessieren, wie sich die Konzentration verändert, wenn wir Aspirin einnehmen und der Körper es verstoffwechselt. Genau wie bei Sudoku kann man eine Reihe von Gleichungen erstellen, die beschreiben, wie sich die Konzentration von Aspirin im Laufe der Zeit entwickelt und wie sich eine zusätzliche Einnahme auf die Dynamik dieses Medikaments auswirkt. Im Gegensatz zu Sudoku sind die Variablen, die Konzentrationen darstellen, jedoch nicht statisch, sondern verändern sich im Laufe der Zeit.
Aber der Akt des Modellierens ist nicht immer so einfach. Wie würden wir Krankheiten wie Krebs modellieren? Reicht es aus, die Größe und Form eines Tumors zu modellieren, oder müssen wir jedes einzelne Blutgefäß im Tumor modellieren? Jede einzelne Zelle? Jede einzelne Chemikalie in jeder Zelle? Über Krebs ist vieles unbekannt. Wie können wir also solche unbekannten Merkmale modellieren? Ist das überhaupt möglich?
Angewandte Mathematiker müssen ein Gleichgewicht zwischen Modellen finden, die realistisch genug sind, um nützlich zu sein, und einfach genug, um implementiert zu werden. Die Erstellung dieser Modelle kann mehrere Jahre dauern, aber in Zusammenarbeit mit experimentellen Wissenschaftlern liefert der Versuch, ein Modell zu finden, oft neue Einblicke in das Problem der realen Welt.
Mathematische Modelle helfen dabei, reale Lösungen zu finden
Nachdem ein mathematisches Problem zur Darstellung einer Situation geschrieben wurde, besteht der zweite Schritt im Modellierungsprozess darin, das Problem zu lösen.
Für Sudoku müssen wir eine Sammlung von Gleichungen mit 81 Variablen lösen. Für das Aspirin-Beispiel müssen wir eine Gleichung lösen, die die Änderungsrate der Konzentrationen beschreibt. Hier kommt die ganze Mathematik ins Spiel, die erfunden wurde und immer noch erfunden wird. Bereiche der reinen Mathematik wie Algebra, Analysis, Kombinatorik und viele andere können – in einigen Fällen kombiniert – verwendet werden, um die komplexen mathematischen Probleme zu lösen, die sich aus der Anwendung der Mathematik in der realen Welt ergeben.
Der dritte Schritt des Modellierungsprozesses besteht darin, die mathematische Lösung in die Lösung des angewandten Problems zu übersetzen. Im Fall von Sudoku sagt uns die Lösung der Gleichungen, welche Zahl in welches Kästchen passen muss, um das Rätsel zu lösen. Im Fall von Aspirin wäre die Lösung eine Reihe von Kurven, die uns die Aspirinkonzentration im Verdauungssystem und im Blutkreislauf verraten. So funktioniert angewandte Mathematik.
Wenn das Erstellen eines Modells nicht ausreicht
Oder doch? Während dieser dreistufige Prozess der ideale Prozess der angewandten Mathematik ist, ist die Realität komplizierter. Sobald ich den zweiten Schritt erreiche, in dem ich die Lösung des mathematischen Problems möchte, stellt sich sehr oft, wenn nicht sogar meistens, heraus, dass niemand weiß, wie man das mathematische Problem im Modell löst. In manchen Fällen dient die Mathematik dazu, das Problem zu untersuchen existiert gar nicht.
Beispielsweise ist es schwierig, Krebsmodelle zu analysieren, da die Wechselwirkungen zwischen Genen, Proteinen und Chemikalien nicht so eindeutig sind wie die Beziehungen zwischen Kästchen in einem Sudoku-Spiel. Die Hauptschwierigkeit besteht darin, dass diese Wechselwirkungen „nichtlinear“ sind, was bedeutet, dass der Effekt zweier Eingaben nicht einfach die Summe der einzelnen Effekte ist. Um dieses Problem anzugehen, habe ich an neuartigen Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme gearbeitet, wie z Boolesche Netzwerktheorie und Polynomalgebra. Mit diesem und traditionellen Ansätzen haben meine Kollegen und ich Fragen in Bereichen wie untersucht Entscheidungsfindung, Gennetzwerke, Zelldifferenzierung Und Regeneration der Gliedmaßen.
Bei der Annäherung an ungelöste Probleme der angewandten Mathematik verschwindet oft die Unterscheidung zwischen angewandter und reiner Mathematik. Bereiche, die früher als zu abstrakt galten, waren genau das, was für moderne Probleme benötigt wird. Dies unterstreicht die Bedeutung der Mathematik für uns alle; Aktuelle Bereiche der reinen Mathematik können zur angewandten Mathematik von morgen werden und die Werkzeuge sein, die für komplexe, reale Probleme benötigt werden.
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