Mathematische Modelle deuten darauf hin, dass die Landkreise immer noch nicht auf COVID-Spitzen vorbereitet sind

Amerika war auf das Ausmaß der Pandemie nicht vorbereitet, die viele Bezirke überwältigte und einige Krankenhäuser bis zur Kapazitätsgrenze füllte. Ein neues Papier rein PNAS deutet darauf hin, dass es eine Art mathematische Methode für den Wahnsinn dieser frühen COVID-Tage gegeben haben könnte.

Die Studie testet ein Modell, das zwischen April 2020 und Juni 2021 von Landkreis zu Landkreis in den Vereinigten Staaten eng mit den Mustern der Fallzahlen und Todesfälle übereinstimmt. Das Modell legt nahe, dass beispiellose COVID-Spitzen bereits jetzt die lokalen Gerichtsbarkeiten überwältigen könnten.

„Unsere beste Schätzung auf der Grundlage der Daten ist, dass die Anzahl der Fälle und Todesfälle pro Landkreis unendliche Unterschiede aufweist, was bedeutet, dass ein Landkreis von einer enormen Anzahl von Fällen oder Todesfällen betroffen sein könnte”, sagt Joel Cohen von der Rockefeller University. „Wir können nicht vernünftigerweise davon ausgehen, dass irgendein Landkreis über die Ressourcen verfügen wird, um mit extrem großen, seltenen Ereignissen fertig zu werden. Daher ist es entscheidend, dass Landkreise – sowie Bundesstaaten und sogar Länder – im Voraus Pläne entwickeln, um Ressourcen zu teilen.”

Vorhersage von 99 Prozent einer Pandemie

Ökologen hätten vielleicht vermutet, dass die Ausbreitung von COVID-Fällen und Todesfällen zumindest grob dem Taylorschen Gesetz entsprechen würde, einer Formel, die den Mittelwert einer Bevölkerung mit ihrer Varianz in Beziehung setzt (ein Maß für die Streuung um den Durchschnitt). Von der Schwankung der Ernteerträge über die Häufigkeit von Tornadoausbrüchen bis hin zur Vermehrung von Krebszellen bildet das Taylorsche Gesetz das Rückgrat vieler statistischer Modelle, mit denen Experten Tausende von Arten, einschließlich des Menschen, beschreiben.

Aber als Cohen anfing zu prüfen, ob Taylors Gesetz auch die düsteren COVID-Statistiken der New York Times beschreiben könnte, stieß er auf eine Überraschung.

Neunundneunzig Prozent der Fälle und Todesfälle in den Landkreisen zwischen April 2020 und Juni 2021 entsprachen einer „lognormalen“ Verteilung des Taylorschen Gesetzes, das vorhersagt, dass die Varianz der Fälle oder Todesfälle an jedem Ort proportional zum quadratischen Mittel der Fälle sein wird oder Todesfälle. Wenn beispielsweise die durchschnittliche Zahl der Fälle pro Landkreis in Arizona 50 und in Kalifornien 100 beträgt, würde diese Version von Taylors Gesetz vorhersagen, dass die Streuung der Fallzahlen in Kalifornien viermal größer wäre als die Streuung der Fallzahlen in Arizona. Wenn die Fallzahlen pro Landkreis in diesen beiden Bundesstaaten 50 bzw. 150 betragen würden, wäre die Streuung in Kalifornien neunmal größer.

Das obere eine Prozent der Fälle und Todesfälle passte jedoch nicht zur lognormalen Verteilung. Stattdessen stimmten die hohen Zahlen mit der Pareto-Verteilung überein – ein Modell, das häufiger in der Ökonomie als in der Biologie zu finden ist, bei dem extrem hohe Werte selten, aber regelmäßig beobachtet werden (denken Sie an die Einkommens- oder Vermögensverteilung). Was diese spezielle Pareto-Verteilung einzigartig machte, war, dass sie auch eine unendliche Varianz aufwies, was bedeutet, dass die Streuung über jede endliche Grenze hinaus zunehmen würde, je mehr Fälle oder Todesfälle beobachtet wurden. Die Herausforderung bestand darin, zu verstehen, warum selbst die oberen 1 % der Zählungen immer noch dem Taylorschen Gesetz mit demselben Exponenten wie die unteren 99 % entsprachen.

„Es war ein Rätsel“, erinnert sich Cohen. „Und ich saß auf diesem Puzzle, nahm es hin und wieder heraus, quälte es ein bisschen und legte es weg. Bis ich eines Tages die schwere Artillerie anforderte.“

Das restliche ein Prozent

Cohen schickte seine Computersimulationen und unbewiesenen Vermutungen an Richard A. Davis von der Columbia University und Gennady Samorodnitsky von der Cornell University und bat um ihre Beiträge. Ein paar Monate später schickten ihm die beiden einige Theoreme: den fehlenden Beweis, dass Taylors Gesetz sogar für die paretoverteilten obersten 1 % der Landkreise gelten würde, mit demselben Exponenten wie die 99 % der lognormal verteilten Landkreise.

„Diese Theoreme halfen zu beweisen, dass Taylors Gesetz alle Daten genau beschreibt“, sagt Cohen. „Die Pandemie führte zu einem geordneten Muster von Fallzahlen pro Landkreis und Todesfällen pro Landkreis. Der unerwartete Teil dieser Reihenfolge war, dass es in den extremsten Fällen keine Grenzen dafür gab, wie schlimm die Dinge werden konnten.”

Unendliche Varianz, nahezu unendlicher Ärger

Warum die Pandemie dieser hybriden (lognormal-Pareto) Version von Taylors Gesetz so genau folgt, ist unklar. Eine Möglichkeit ist, dass Taylors Gesetz – das die Varianz vieler Ökosysteme beschreibt, einschließlich Infektionskrankheiten wie Masern und der Chagas-Krankheit – einfach die Art der Infektion erfasst. Wenn ein Patient zwei Personen infiziert (mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit) und jeder dieser beiden Patienten zwei weitere Personen infiziert (mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit), würden wir erwarten, dass die Fälle exponentiell zunehmen (mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit), und gelegentliche zufällige Ereignisse könnten unendliche Abweichungen verursachen.

Cohen hofft, dass die Studie die politischen Entscheidungsträger alarmieren wird. Eine unendliche Varianz von Fällen und Todesfällen pro Landkreis bedeutet, dass es ein sehr unwahrscheinliches, aber mögliches Szenario gibt, in dem eine COVID-Spitze jeden Einzelnen in diesem Landkreis krank oder schlimmer macht. Obwohl das Aufkommen von Impfstoffen ein solches Szenario zunehmend unwahrscheinlich macht, sind Gebiete in den Vereinigten Staaten und im Ausland mit niedrigen Impfraten immer noch mit der Möglichkeit von Spitzen konfrontiert, die sie nicht bewältigen können.

Die Mathematik, sagt Cohen, deutet darauf hin, dass COVID-Fälle und Todesfälle die Kapazität der lokalen Gerichtsbarkeiten zur Bewältigung bei weitem übersteigen könnten. „Regierungen sollten besser darauf vorbereitet sein, ihre Freunde hinzuzuziehen“, sagt er.