Mathematiker widerlegen GPS-Annahmen und schlagen Verbesserungen vor

Die Sommerferien gehen zu Ende, und für viele endet dies mit einer langen Heimfahrt und der Abhängigkeit von GPS-Geräten, um sicher nach Hause zu kommen. Doch hin und wieder können GPS-Geräte seltsame Richtungen vorschlagen oder kurzzeitig Ihren Standort verwechseln. Doch bisher wusste niemand mit Sicherheit, wann die Satelliten in einer guten Position waren, damit das GPS-System eine zuverlässige Richtungsbestimmung geben konnte.

Mireille Boutin von der TU/e ​​und ihr Kollege Gregor Kemper von der Technischen Universität München haben sich der Mathematik zugewandt, um herauszufinden, wann Ihr GPS-System über genügend Informationen verfügt, um Ihren Standort genau zu bestimmen. Die Forschung ist veröffentlicht im Journal Fortschritte in der angewandten Mathematik.

„In 200 Metern rechts abbiegen.“ Dies ist eine typische Anweisung, die viele von ihrem Global Positioning System (GPS) gehört haben.

Fortschritte in der GPS-Technologie und bei mobilen Navigations-Apps haben zweifellos dazu beigetragen, dass GPS bei modernen Autofahrten eine wichtige Rolle spielt.

Das strikte Befolgen der Anweisungen von GPS-Geräten kann jedoch zu unerwünschten Situationen führen. Weniger schwerwiegend könnte es sein, links statt rechts abzubiegen, während es schwerwiegender sein könnte, mit dem Auto in einen Hafen zu fahren – so wie es zwei Touristen 2023 auf Hawaii passiert ist. Der letztgenannte Vorfall ist eine echte Ausnahme von der Regel, und man könnte sich fragen: „Wie oft passiert das und warum?“

GPS und Ihre Sichtbarkeit

„Der Kern des GPS-Systems wurde Mitte der 1960er Jahre entwickelt. Die Theorie dahinter bot damals keine Garantie dafür, dass die angegebene Position korrekt war“, sagt Boutin, Professor am Departement für Mathematik und Informatik.

Es wird Sie daher nicht überraschen, dass die Berechnung der Position eines Objekts auf der Erde auf raffinierten mathematischen Berechnungen beruht. Und diese haben sich seit den Anfängen nicht viel geändert. Sie bilden den Kern des GPS-Systems, das wir alle verwenden. Und es hat eine Aktualisierung verdient.

Also wandte sich Boutin zusammen mit ihrem Kollegen Gregor Kemper von der Technischen Universität München der Mathematik zu, um die Theorie hinter dem GPS-System zu erweitern. Ihre Ergebnisse wurden kürzlich in der Zeitschrift Advances in Applied Mathematics veröffentlicht.

Wie funktioniert GPS?

Bevor wir die große Entdeckung von Boutin und Kemper enthüllen: Wie funktioniert GPS genau?

Bei der globalen Positionierung geht es darum, die Position eines Geräts auf der Erde anhand von Satellitensignalen zu bestimmen. Ein von einem Satelliten gesendetes Signal enthält zwei wichtige Informationen: die Position des Satelliten im Weltraum und die Zeit, zu der die Position vom Satelliten gesendet wurde. Die Zeit wird übrigens von einer sehr präzisen Uhr an Bord des Satelliten aufgezeichnet, bei der es sich normalerweise um eine Atomuhr handelt.

Dank der Atomuhr übermitteln Satelliten sehr genaue Uhrzeiten. Das große Problem liegt jedoch in der Genauigkeit der Uhr im Gerät des Benutzers – sei es ein GPS-Navigationsgerät, ein Smartphone oder eine Laufuhr.

„Tatsächlich kombiniert GPS genaue und ungenaue Informationen, um herauszufinden, wo sich ein Gerät befindet“, sagt Boutin. „GPS mag zwar weit verbreitet sein, aber wir konnten keine theoretische Grundlage finden, die garantiert, dass die aus den Satellitensignalen ermittelte Position eindeutig und genau ist.“

Google sagt „vier“

Wenn Sie bei Google schnell nach der Mindestanzahl an Satelliten suchen, die für die Navigation mit GPS erforderlich sind, berichten mehrere Quellen, dass Sie mindestens vier Satelliten benötigen.

Die Frage ist jedoch nicht nur, wie viele Satelliten man sehen kann, sondern auch, welche Anordnungen sie bilden können. Bei einigen Anordnungen ist es unmöglich, die Position des Benutzers zu bestimmen. Aber welche Anordnungen genau? Das wollten die Forscher herausfinden.

„Wir haben in wissenschaftlichen Artikeln Vermutungen gefunden, die allgemein akzeptiert zu sein scheinen, konnten aber nirgends überzeugende Argumente finden, die diese stützen. Deshalb dachten wir, dass wir als Mathematiker diese Wissenslücke vielleicht schließen könnten“, sagt Boutin.

Um das Problem zu lösen, vereinfachten Boutin und Kemper das GPS-Problem auf das, was in der Praxis am besten funktioniert: Gleichungen, die in Bezug auf die unbekannten Variablen linear sind.

„Ein Satz linearer Gleichungen ist die einfachste Gleichungsform, die wir uns vorstellen können. Ehrlich gesagt waren wir überrascht, dass dieser einfache Satz linearer Gleichungen für das GPS-Problem noch nicht bekannt war“, fügt Boutin hinzu.

Das Problem der Einzigartigkeit

Nachdem Boutin und Kemper ihre linearen Gleichungen fertig hatten, untersuchten sie die Lösungen der Gleichungen eingehend und achteten besonders darauf, ob die Gleichungen eine eindeutige Lösung ergaben.

„Eine eindeutige Lösung setzt voraus, dass die einzige Lösung der Gleichungen die tatsächliche Position des Benutzers ist“, bemerkt Boutin.

Wenn es mehr als eine Lösung für die Gleichungen gibt, ist nur eine richtig – nämlich die wahre Benutzerposition –, doch das GPS-System wüsste nicht, welche es wählen soll und würde möglicherweise die falsche zurückgeben.

Die Forscher fanden heraus, dass sich nicht eindeutige Lösungen ergeben können, wenn die Satelliten in einer speziellen Struktur liegen, die als „Rotationshyperboloid mit zwei Schichten“ bezeichnet wird.

„Es spielt keine Rolle, wie viele Satelliten ein Signal senden – wenn sie alle auf einem dieser Hyperboloide liegen, ist es möglich, dass die Gleichungen zwei Lösungen haben und die vom GPS gewählte Lösung falsch sein könnte“, sagt Boutin.

Doch was ist mit der Behauptung, man bräuchte mindestens vier Satelliten, um seine Position zu bestimmen? „Vier Satelliten können funktionieren, aber die Lösung ist nicht immer eindeutig“, betont Boutin.

Warum Mathematik wichtig ist

Für Boutin demonstriert diese Arbeit die Leistungsfähigkeit und Anwendbarkeit der Mathematik.

„Ich persönlich liebe die Tatsache, dass Mathematik ein sehr mächtiges Werkzeug mit vielen praktischen Anwendungen ist“, sagt Boutin. „Ich denke, dass Menschen, die keine Mathematiker sind, die Zusammenhänge nicht so leicht erkennen, und deshalb ist es immer schön, klare und überzeugende Beispiele für alltägliche Probleme zu finden, bei denen Mathematik einen Unterschied machen kann.“

Im Mittelpunkt der Forschung von Boutin und Kemper steht das Gebiet der algebraischen Geometrie, in dem abstrakte algebraische Methoden zur Lösung geometrischer, realer Probleme eingesetzt werden.

„Algebraische Geometrie ist ein Bereich der Mathematik, der als sehr abstrakt gilt. Ich finde es schön, daran erinnert zu werden, dass jedes mathematische Element, so abstrakt es auch sein mag, irgendwann praktische Anwendung finden kann“, sagt Boutin.