Die Bewegung von Flüssigkeiten in der Natur, darunter der Wasserfluss in unseren Ozeanen, die Bildung von Tornados in unserer Atmosphäre und der Luftstrom um Flugzeuge herum, werden seit langem durch die sogenannten Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben und simuliert.
Mathematiker haben jedoch kein vollständiges Verständnis dieser Gleichungen. Obwohl sie ein nützliches Werkzeug zur Vorhersage des Flusses von Flüssigkeiten sind, wissen wir immer noch nicht, ob sie Flüssigkeiten in allen möglichen Szenarien genau beschreiben. Dies veranlasste das Clay Mathematics Institute of New Hampshire, die Navier-Stokes-Gleichungen als eines seiner sieben Millenniumsprobleme zu bezeichnen: die sieben dringendsten ungelösten Probleme in der gesamten Mathematik.
Das Millennium-Problem der Navier-Stokes-Gleichung fordert Mathematiker auf, zu beweisen, ob es immer „glatte“ Lösungen für die Navier-Stokes-Gleichungen gibt.
Einfach ausgedrückt bezieht sich Glätte darauf, ob sich Gleichungen dieses Typs in einer vorhersagbaren Weise verhalten, die Sinn macht. Stellen Sie sich eine Simulation vor, in der ein Fuß das Gaspedal eines Autos drückt und das Auto auf 10 Meilen pro Stunde (mph), dann auf 20 mph, dann auf 30 mph und dann auf 40 mph beschleunigt. Wenn der Fuß jedoch auf das Gaspedal drückt und das Auto auf 80 km/h beschleunigt, dann auf 60 km/h und dann sofort auf eine unendliche Anzahl von Meilen pro Stunde, würden Sie sagen, dass etwas mit der Simulation nicht stimmt.
Das wollen Mathematiker für die Navier-Stokes-Gleichungen herausfinden. Simulieren sie Flüssigkeiten immer sinnvoll oder gibt es Situationen, in denen sie kaputt gehen?
In einem auf dem Preprint-Server veröffentlichten Artikel arXivThomas Hou vom Caltech, Charles Lee Powell-Professor für Angewandte und Computermathematik und Jiajie Chen (Ph.D. ’22) vom Courant Institute der New York University liefern einen Beweis, der ein seit langem offenes Problem für den sogenannten 3D-Euler löst Singularität.
Die 3D-Euler-Gleichung ist eine Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen, und eine Singularität ist der Punkt, an dem eine Gleichung zusammenbricht oder „explodiert“, was bedeutet, dass sie ohne Vorwarnung plötzlich chaotisch werden kann (wie das simulierte Auto, das ins Unendliche beschleunigt). Kilometer pro Stunde). Der Beweis basiert auf einem Szenario, das erstmals 2014 von Hou und seinem ehemaligen Postdoc Guo Luo vorgeschlagen wurde.
Hous Berechnung mit Luo im Jahr 2014 entdeckte ein neues Szenario, das den ersten überzeugenden numerischen Beweis für eine 3D-Euler-Explosion zeigte, während frühere Versuche, eine 3D-Euler-Explosion zu entdecken, entweder nicht schlüssig oder nicht reproduzierbar waren.
In der neuesten Veröffentlichung zeigen Hou und Chen den endgültigen und unwiderlegbaren Beweis für die Arbeit von Hou und Luo, die die 3D-Euler-Gleichungsexplosion beinhalten. „Es beginnt mit etwas, das sich gut verhält, entwickelt sich dann aber irgendwie so, dass es katastrophal wird“, sagt Hou.
„In den ersten zehn Jahren meiner Arbeit glaubte ich, es gäbe keine Euler-Explosion“, sagt Hou. Nach mehr als einem Jahrzehnt der Forschung seitdem hat Hou nicht nur bewiesen, dass sein früheres Ich falsch lag, er hat auch ein jahrhundertealtes Rätsel der Mathematik gelöst.
„Dieser Durchbruch ist ein Beweis für Dr. Hous Beharrlichkeit bei der Lösung des Euler-Problems und des intellektuellen Umfelds, das Caltech pflegt“, sagt Harry A. Atwater, Otis Booth Leadership Chair der Division of Engineering and Applied Science, Howard Hughes Professor of Applied Physics und Materialwissenschaft und Direktor der Liquid Sunlight Alliance. „Caltech befähigt Forscher, komplexe Probleme mit nachhaltiger kreativer Anstrengung zu lösen – sogar über Jahrzehnte hinweg –, um außergewöhnliche Ergebnisse zu erzielen.“
Die gemeinsame Anstrengung von Hou und seinen Kollegen, die Existenz von Explosionen mit der 3D-Euler-Gleichung zu beweisen, ist ein großer Durchbruch für sich, stellt aber auch einen großen Schritt nach vorne bei der Lösung des Navier-Stokes-Millenniumproblems dar. Wenn die Navier-Stokes-Gleichungen ebenfalls explodieren könnten, würde das bedeuten, dass mit einer der grundlegendsten Gleichungen zur Beschreibung der Natur etwas nicht stimmt.
„Der gesamte Rahmen, den wir für diese Analyse eingerichtet haben, wäre für Navier-Stokes enorm hilfreich“, sagt Hou. „Ich habe kürzlich einen vielversprechenden Explosionskandidaten für Navier-Stokes identifiziert. Wir müssen nur die richtige Formulierung finden, um die Explosion von Navier-Stokes zu beweisen.“
Mehr Informationen:
Jiajie Chen et al., Stabile, nahezu selbstähnliche Vergrößerung der 2D-Boussinesq- und 3D-Euler-Gleichungen mit glatten Daten, arXiv (2022). DOI: 10.48550/arxiv.2210.07191