Mathematiker beweisen Pólyas Vermutung für die Eigenwerte einer Scheibe, ein 70 Jahre altes mathematisches Problem

Kann man aus den Geräuschen, die sie erzeugt, auf die Form einer Trommel schließen? Das ist die Art von Frage, die Iosif Polterovich, Professor am Fachbereich Mathematik und Statistik der Université de Montréal, gerne stellt. Polterovich nutzt die Spektralgeometrie, einen Zweig der Mathematik, um physikalische Phänomene bei der Wellenausbreitung zu verstehen.

Letzten Sommer bewiesen Polterovich und seine internationalen Mitarbeiter – Nikolay Filonov, Michael Levitin und David Sher – einen Sonderfall einer berühmten Vermutung in der Spektralgeometrie, die 1954 vom bedeutenden ungarisch-amerikanischen Mathematiker George Pólya formuliert wurde.

Die Vermutung beruht auf der Schätzung der Frequenzen einer runden Trommel oder, mathematisch ausgedrückt, der Eigenwerte einer Scheibe.

Pólya selbst bestätigte seine Vermutung 1961 für Gebiete, die eine Ebene kacheln, wie etwa Dreiecke und Rechtecke. Bis letztes Jahr war die Vermutung nur für diese Fälle bekannt. Die Scheibe blieb trotz ihrer scheinbaren Einfachheit schwer zu fassen.

„Stellen Sie sich einen unendlichen Boden vor, der mit Fliesen derselben Form bedeckt ist, die zusammenpassen, um den Raum zu füllen“, sagte Polterovich. „Es kann mit Quadraten oder Dreiecken gekachelt werden, aber nicht mit Scheiben. Eine Scheibe ist eigentlich keine gute Form zum Kacheln.“

Die Universalität der Mathematik

In einem Artikel veröffentlicht in der mathematischen Zeitschrift Erfindungen Mathematicaezeigen die Forscher, dass Pólyas Vermutung für die Scheibe zutrifft, ein Fall, der als besonders anspruchsvoll gilt.

Obwohl ihr Ergebnis im Wesentlichen von theoretischem Wert ist, findet ihre Beweismethode Anwendung in der Computermathematik und im numerischen Rechnen. Die Autoren untersuchen nun diesen Weg.

„Obwohl Mathematik eine grundlegende Wissenschaft ist, ähnelt sie in mancher Hinsicht dem Sport und den Künsten“, sagte Polterovich.

„Der Versuch, eine langjährige Vermutung zu beweisen, ist ein Sport. Eine elegante Lösung zu finden ist eine Kunst. Und in vielen Fällen erweisen sich schöne mathematische Entdeckungen als nützlich – man muss nur die richtige Anwendung finden.“