Vor zwei Wochen, a bescheiden aussehendes Papier wurde mit dem bescheidenen Titel „On the invariant subspace problem in Hilbert rooms“ auf den arXiv-Preprint-Server hochgeladen. Die Arbeit ist nur 13 Seiten lang und das Literaturverzeichnis enthält nur einen einzigen Eintrag.
Das Papier soll das letzte Teil eines Puzzles enthalten, an dem Mathematiker seit mehr als einem halben Jahrhundert herumhacken: das invariantes Unterraumproblem.
Berühmte offene Probleme ziehen oft ehrgeizige Lösungsversuche interessanter Charaktere nach sich, die sich einen Namen machen wollen. Doch solche Bemühungen werden von Experten meist schnell abgewehrt.
Der Autor dieser kurzen Notiz ist jedoch ein schwedischer Mathematiker Per EnfloEr ist kein ambitionierter Nachwuchs. Er ist fast 80, hat sich durch die Lösung offener Probleme einen Namen gemacht und hat eine lange Erfahrung mit dem vorliegenden Problem.
Per Enflo: Mathematik, Musik und eine lebende Gans
Enflo wurde 1944 geboren und ist heute emeritierter Professor an der Kent State University, Ohio. Er hat eine bemerkenswerte Karriere hinter sich, nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Musik.
Er ist ein renommierter Konzertpianist, der zahlreiche Klavierkonzerte aufgeführt und aufgenommen hat und weltweit als Solokünstler und mit Orchestern aufgetreten ist.
Enflo ist auch einer der großen Problemlöser auf dem Gebiet der Funktionsanalyse. Neben seiner Arbeit am invarianten Unterraumproblem löste Enflo zwei weitere große Probleme – das Basisproblem und das Approximationsproblem –, die beide seit mehr als 40 Jahren offen geblieben waren.
Durch die Lösung des Näherungsproblems löste Enflo ein gleichwertiges Rätsel namens Mazurs Gänseproblem. Der polnische Mathematiker Stanisław Mazur hatte 1936 jedem, der sein Problem löste, eine lebende Gans versprochen – und 1972 hielt er sein Wort und schenkte Enflo die Gans.
Was ist ein invarianter Unterraum?
Jetzt kennen wir die Hauptfigur. Aber was ist mit dem invarianten Unterraumproblem selbst?
Wenn Sie jemals einen Universitätskurs im ersten Studienjahr in linearer Algebra belegt haben, sind Sie auf Dinge gestoßen, die Vektoren, Matrizen und Eigenvektoren genannt werden. Falls nicht, können wir uns einen Vektor als einen Pfeil mit einer Länge und einer Richtung vorstellen, der in einem bestimmten Vektorraum lebt. (Es gibt viele verschiedene Vektorräume mit unterschiedlicher Anzahl an Dimensionen und unterschiedlichen Regeln.)
Eine Matrix ist etwas, das einen Vektor transformieren kann, indem es die Richtung und/oder Länge der Linie ändert. Wenn eine bestimmte Matrix nur die Länge eines bestimmten Vektors transformiert (d. h. die Richtung ist entweder gleich oder in die entgegengesetzte Richtung umgekehrt), nennen wir den Vektor einen Eigenvektor der Matrix.
Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, zu sagen, dass die Matrix die Eigenvektoren (und alle dazu parallelen Linien) wieder in sich selbst transformiert: Diese Linien sind für diese Matrix invariant. Zusammengenommen nennen wir diese Linien invariante Unterräume der Matrix.
Eigenvektoren und invariante Unterräume sind auch über die reine Mathematik hinaus von Interesse – um ein Beispiel zu nennen: Es heißt, Google verdanke seinen Erfolg „der 25-Milliarden-Dollar-Eigenvektor.“
Was ist mit Räumen mit unendlich vielen Dimensionen?
Das ist also ein invarianter Unterraum. Das Problem des invarianten Unterraums ist etwas komplizierter: Es handelt sich um Räume mit unendlich vielen Dimensionen und fragt, ob jeder lineare Operator (das Äquivalent einer Matrix) in diesen Räumen einen invarianten Unterraum haben muss.
Genauer gesagt (halten Sie sich fest): Das Problem des invarianten Unterraums fragt, ob jeder beschränkte lineare Operator T auf einem komplexen Banachraum X einen nicht trivialen invarianten Unterraum M von X zulässt, in dem Sinne, dass es einen Unterraum M ≠ 0 gibt , X von X, so dass T(M) wieder in M enthalten ist.
So ausgedrückt wurde das Problem des invarianten Unterraums in der Mitte des letzten Jahrhunderts gestellt und entzog sich allen Lösungsversuchen.
Aber wie so oft, wenn Mathematiker ein Problem nicht lösen können, verschieben wir die Zielpfosten. Mathematiker, die an diesem Problem arbeiteten, engten ihren Fokus ein, indem sie das Problem auf bestimmte Klassen von Räumen und Operatoren beschränkten.
Der erste Durchbruch gelang Enflo in den 1970er Jahren (obwohl sein Ergebnis nicht der Fall war). veröffentlicht bis 1987). Er verneinte das Problem, indem er einen Operator auf einem Banachraum ohne einen nichttrivialen invarianten Unterraum konstruierte.
Was ist neu an diesem neuen Lösungsvorschlag?
Wie ist also der aktuelle Stand des Problems des invarianten Unterraums? Wenn Enflo es 1987 gelöst hat, warum hat er es dann noch einmal gelöst?
Nun, Enflo hat das Problem für Banach-Räume im Allgemeinen gelöst. Es gibt jedoch eine besonders wichtige Art von Banach-Raum, den sogenannten Hilbert-Raum, der ein starkes Gespür für Geometrie hat und in der Physik, Wirtschaft und angewandten Mathematik weit verbreitet ist.
Die Lösung des invarianten Unterraumproblems für Operatoren auf Hilbert-Räumen war hartnäckig schwierig, und Enflo behauptet, dies erreicht zu haben.
Dieses Mal bejaht Enflo: In seiner Arbeit argumentiert er, dass jeder beschränkte lineare Operator auf einem Hilbert-Raum tatsächlich einen invarianten Unterraum hat.
Die Expertenbewertung steht noch aus
Ich habe den Vorabdruck von Enflo nicht Zeile für Zeile durchgearbeitet. Enflo selbst ist es angeblich vorsichtig über die Lösung, da diese noch nicht von Experten überprüft wurde.
Die Peer-Review von Enflos früherem Beweis für Banachräume im Allgemeinen dauerte mehrere Jahre. Allerdings umfasste dieses Papier mehr als 100 Seiten, sodass eine Durchsicht der 13 Seiten des neuen Papiers viel schneller vonstatten gehen dürfte.
Wenn das stimmt, wird es eine bemerkenswerte Leistung sein, insbesondere für jemanden, der über einen so langen Zeitraum bereits so viele bemerkenswerte Erfolge erzielt hat. Enflos zahlreiche Beiträge zur Mathematik und seine Antworten auf viele offene Probleme haben einen großen Einfluss auf das Fachgebiet gehabt und neue Techniken und Ideen hervorgebracht.
Ich freue mich darauf, herauszufinden, ob Enflos Arbeit nun das Buch über das Problem des invarianten Unterraums abschließt, und darauf, die neue Mathematik zu sehen, die sich aus ihrer Schlussfolgerung ergeben könnte.
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