Kürzlich entdeckte ein internationales vierköpfiges Team, zu dem auch Dr. Craig Kaplan, Professor an der Cheriton School of Computer Science, gehörte, eine einzelne Form, die die Ebene – eine unendliche, zweidimensionale Oberfläche – in einem Muster kachelt, das sich niemals wiederholen lässt.
Die Entdeckung faszinierte Mathematiker, Fliesenleger und die Öffentlichkeit gleichermaßen.
Die Form, ein 13-seitiges Polygon, das sie „den Hut“ nannten, ist unter Mathematikern als aperiodisches Monotil oder „Einstein“ bekannt, die deutschen Wörter, die „ein Stein“ bedeuten.
Doch die jüngste Entdeckung des Teams hat die Messlatte noch einmal höher gelegt. Sie fanden eine andere, mit der ersten verwandte Form, die einer noch strengeren Definition entspricht. Die als „Gespenst“ bezeichnete neue Form kachelt eine Ebene in einem Muster, das sich ohne die Verwendung von Spiegelbildern der Form nie wiederholt. Aus diesem Grund wird es auch als „Vampir-Einstein“ bezeichnet – eine Form, die aperiodisch kachelt, ohne dass sie reflektiert werden muss.
„Unsere erste Arbeit löste das Einstein-Problem, aber da die Form eine Reflexion erforderte, um sie aperiodisch zu kacheln, warfen die Leute eine berechtigte Frage auf: Gibt es eine Form, die das tun kann, was der Hut tut, aber ohne Reflexion“, erklärt Kaplan. „Es war unser Glück, dass wir eine Form gefunden haben, die dieses Teilproblem nicht nur löst, sondern es auch so bald nach der ersten Veröffentlichung löste.“
Wie in dieser Schleifenanimation gezeigt, ist der Hut ein Mitglied eines sich verändernden Formenkontinuums, das durch zunehmende und abnehmende Kanten entsteht, um eine Kachelung zu erzeugen, die reflektierte Formen erfordert, um sicherzustellen, dass sich das Muster nie wiederholt. Aber ein Mitglied dieser unendlichen Menge von Formen – technisch bekannt als Tile(1,1) – ist kein aperiodisches Monotil. Tile(1,1) erzeugt periodische Kacheln. Wenn Sie jedoch eine Kachelung ohne Reflexionen erzwingen, erfolgt die Kachelung nur aperiodisch. Es ist ein nicht reflektierender oder Vampir-Einstein. Bildnachweis: University of Waterloo
Für Mathematiker sind der Hut und sein Spiegelbild eine einzige Form, aber in der physischen Welt können sich linkshändige und rechtshändige Formen unterschiedlich verhalten. Sie können beispielsweise keinen Rechtshänderhandschuh an der linken Hand tragen.
„Wenn Sie einen großen Badezimmerboden in regelmäßigen Abständen mit hutförmigen Fliesen verfliesen würden, die auf einer Seite glasiert sind, bräuchten Sie Hüte und Spiegelbilder von Hüten“, sagt Kaplan.
Aber es war nicht dieser Streit, der die jüngste Entdeckung motivierte.
Die Entdeckung des Vampirs Einstein begann mit den Überlegungen von David Smith, einem pensionierten Drucktechniker und selbsternannten Formenliebhaber aus Yorkshire, England, dessen Neugier Monate zuvor zur ursprünglichen Einstein-Entdeckung führte.
„Dave schickte uns ein paar Tage, nachdem unser Hutpapier online ging, eine E-Mail und teilte uns mit, dass er mit einer verwandten Form herumgespielt habe, die sich seltsam zu verhalten schien“, sagt Kaplan. „Yoshiaki Araki, ein japanischer Mathematiker und bekannter Künstler, dessen Arbeit im Geiste von MC Escher steht, hatte Bilder von Tile(1,1) gepostet, die Dave dazu brachten, sich näher damit zu befassen.“
Yoshiaki hat auf Twitter eine interessante Frage gepostet: „Eine aperiodische Schildkröten-Tessellation basierend auf dem neuen aperiodischen Monotil Tile(1, 1.1). In der Kachelung sollen etwa 12,7 % der Kacheln reflektiert werden. Die grüne ist ein Beispiel. Noch eine.“ Die reflektierte Schildkröte ist in den Fliesen versteckt. Wer ist die reflektierte Schildkröte?‘“
„Yoshi hatte Tile(1,1) in Schildkröten verwandelt und es ist ein bisschen schwer, die andere reflektierte Schildkröte auf diesem Bild zu erkennen. Aber es hat Dave neugierig gemacht. Was wäre, wenn wir Fliesen mit dieser Form, aber ohne Reflexionen? Wie er das gemacht hat, Dave.“ stellte fest, dass er Kacheln schrittweise nach außen hin in einem Muster aufbauen konnte, das nicht aufhörte und sich nicht wiederholte.
Aber dann kam diese Form mit einem anderen Problem. Wie Kaplan erklärt, wiederholt sich das Muster, wenn Sie Reflexionen von Tile(1,1) verwenden. Mit anderen Worten, es ist periodisch. Aber wenn Tile(1,1) modifiziert wird, indem seine geraden Kanten durch Kurven ersetzt werden, wird es zu einem Vampir-Einstein – einer einzelnen Form, die ohne Reflexion die unendliche Ebene in einem Muster kachelt, das niemals wiederholt werden kann.
Die offensichtliche Frage für Mathematiker und Fliesenleger lautet: Was kommt als nächstes?
„Wir können viele Variationen des Problems stellen“, sagt Kaplan. „Zumindest für mich ist das Interessanteste, ob dies in 3D möglich ist. Es wäre schön, eine Form zu haben, die sich in drei Dimensionen nicht periodisch wiederholt. Solche Konstruktionen sind viel schwieriger zu visualisieren, aber rechnerisch ist das nicht so viel.“ schwieriger zu beweisen, wenn wir das Glück haben, eine dreidimensionale Form – eine Polyform – zu finden, die den Hutkacheln nur aperiodisch ähnelt.“
„Die Kacheltheorie als Zweig der Mathematik ist wunderschön, greifbar und birgt viele faszinierende Probleme, die gelöst werden müssen. Es gibt keinen Mangel an Folgearbeit.“
Hutfesteine Feier zur Entdeckung des „Hutes“, findet vom 20. bis 21. Juli im Mathematischen Institut der Universität Oxford statt. Am ersten Tag der Veranstaltung werden Vorträge und Workshops zum Thema Fliesenlegen für ein Laienpublikum angeboten, am zweiten Tag Feature-Vorträge, die sich an ein breites Publikum aus Physikern und Mathematikern richten.