Exakte Instanton-Transserien für die Quantenmechanik

In der Quantenwelt können Prozesse in zwei verschiedene Klassen unterteilt werden. Eine Klasse, die der sogenannten „Störungsphänomene“, ist sowohl in einem Experiment als auch in einer mathematischen Berechnung relativ leicht zu erkennen. Beispiele gibt es in Hülle und Fülle: das Licht, das Atome aussenden, die Energie, die Solarzellen produzieren, die Zustände von Qubits in einem Quantencomputer.

Diese Quantenphänomene hängen von der Planckschen Konstante ab, der Grundkonstante der Natur, die auf einfache Weise bestimmt, wie sich die Quantenwelt von unserer Welt im großen Maßstab unterscheidet. Trotz der lächerlichen Kleinheit dieser Konstante – ausgedrückt in alltäglichen Einheiten von Kilogramm, Metern und Sekunden nimmt sie einen Wert an, der bei der 34. Dezimalstelle nach dem Komma beginnt – reicht die Tatsache, dass die Plancksche Konstante nicht genau Null ist, aus, um solche Quanteneffekte zu berechnen.

Dann gibt es die „nicht störenden“ Phänomene. Einer der bekanntesten ist der radioaktive Zerfall: ein Prozess, bei dem Elementarteilchen aufgrund von Quanteneffekten der Anziehungskraft entkommen können, die sie an Atomkerne bindet. Wäre die Welt „klassisch“ – das heißt, wenn das Plancksche Wirkungsquantum genau Null wäre – wäre diese Anziehungskraft unmöglich zu überwinden.

In der Quantenwelt kommt es zwar zu Zerfall, aber immer noch nur gelegentlich; Beispielsweise würde der Zerfall eines einzelnen Uranatoms im Durchschnitt über vier Milliarden Jahre dauern. Der Sammelbegriff für solch seltene Quantenereignisse ist „Tunneling“: Damit das Teilchen entkommen kann, muss es einen „Tunnel“ durch die Energiebarriere graben, die es an den Kern bindet. Ein Tunnel, dessen Grabung Milliarden von Jahren dauern kann und der The Shawshank Redemption wie ein Kinderspiel erscheinen lässt.

Mathematik zur Rettung

Mathematisch sind nicht störende Quanteneffekte viel schwieriger zu beschreiben als ihre störenden Verwandten. Dennoch haben Physiker im Laufe des Jahrhunderts, in dem es die Quantenmechanik gibt, viele Möglichkeiten gefunden, mit diesen Effekten umzugehen und sie genau zu beschreiben und vorherzusagen.

„Dennoch gab es bei diesem jahrhundertealten Problem noch viel zu tun“, sagt Alexander van Spaendonck, einer der Autoren der neuen Publikation. „Die Beschreibungen von Tunnelphänomenen in der Quantenmechanik mussten weiter vereinheitlicht werden – ein Rahmen, in dem alle derartigen Phänomene mithilfe einer einzigen mathematischen Struktur beschrieben und untersucht werden konnten.“

Überraschenderweise wurde eine solche Struktur in der 40-jährigen Mathematik gefunden. In den 1980er Jahren hatte der französische Mathematiker Jean Écalle einen Rahmen geschaffen, den er „Wiederaufleben“ nannte und der genau dieses Ziel hatte: nicht störenden Phänomenen Struktur zu geben.

Warum dauerte es also 40 Jahre, bis die natürliche Kombination von Écalles Formalismus und der Anwendung auf Tunnelphänomene zu ihrem logischen Abschluss kam?

Marcel Vonk, der andere Autor der Veröffentlichung, erklärt: „Écalles Originalarbeiten waren langwierig – insgesamt über 1000 Seiten –, sehr technisch und nur auf Französisch veröffentlicht. Daher dauerte es bis Mitte der 2000er Jahre, bis eine nennenswerte Anzahl von ihnen erschien.“ Physiker begannen, sich mit diesem „Werkzeugkasten“ des Wiederauflebens vertraut zu machen.

„Ursprünglich wurde es meist auf einfache ‚Spielzeugmodelle‘ angewendet, aber natürlich wurden die Werkzeuge auch an der realen Quantenmechanik ausprobiert. Unsere Arbeit führt diese Entwicklungen zu ihrem logischen Abschluss.“

Schöne Struktur

Diese Schlussfolgerung ist, dass eines der Werkzeuge in Écalles Werkzeugkasten, das einer „Transserie“, perfekt geeignet ist, Tunnelphänomene in praktisch jedem quantenmechanischen Problem zu beschreiben, und zwar immer auf die gleiche Weise. Durch die Erläuterung der mathematischen Details stellten die Autoren fest, dass es nicht nur möglich wurde, alle Tunnelphänomene in einem einzigen mathematischen Objekt zu vereinen, sondern auch bestimmte „Sprünge“ in der Bedeutung dieser Phänomene zu beschreiben – ein Effekt, der als Stokes-Effekt bekannt ist ‚ Phänomen.

Van Spaendonck teilt mit: „Anhand unserer Beschreibung des Stokes-Phänomens konnten wir zeigen, dass bestimmte Mehrdeutigkeiten, die die ‚klassischen‘ Methoden zur Berechnung nichtstörungsbedingter Effekte geplagt hatten – tatsächlich unendlich viele –, in unserer Methode alle wegfielen. Die zugrunde liegende Struktur änderte sich.“ ist sogar noch schöner geworden, als wir ursprünglich erwartet hatten.

„Es stellt sich heraus, dass sich die Transserie, die das Quantentunneln beschreibt, auf überraschende Weise aufspaltet – oder ‚faktorisiert‘: in eine ‚minimale‘ Transserie, die die grundlegenden Tunnelphänomene beschreibt, die im Wesentlichen in jedem quantenmechanischen Problem existieren, und ein Objekt, das wir das nannten „Median-Transserien“, die die eher problemspezifischen Details beschreiben und die beispielsweise davon abhängen, wie symmetrisch eine bestimmte Quanteneinstellung ist.“

Nachdem diese mathematische Struktur vollständig geklärt ist, stellt sich natürlich als nächstes die Frage, wo die neuen Erkenntnisse angewendet werden können und was Physiker daraus lernen können. Im Fall der Radioaktivität beispielsweise sind einige Atome stabil, während andere zerfallen. In anderen physikalischen Modellen können die Listen der stabilen und instabilen Teilchen variieren, wenn man den Aufbau geringfügig ändert – ein Phänomen, das als „Wandkreuzung“ bekannt ist.

Als nächstes wollen die Forscher diesen Begriff des Mauerüberquerens mit denselben Techniken klären. Dieses schwierige Problem wurde erneut von vielen Gruppen auf unterschiedliche Weise untersucht, aber jetzt könnte eine ähnliche vereinheitlichende Struktur unmittelbar bevorstehen. Es gibt sicherlich Licht am Ende des Tunnels.

Die Arbeit ist veröffentlicht im Tagebuch SciPost-Physik.