Eine neue Perspektive auf Struktur und Komplexität

In der Wissenschaft ist die Erklärung mit den wenigsten Annahmen am wahrscheinlichsten wahr. Dieses als „Occams Rasiermesser“ bezeichnete Prinzip leitet seit Jahrhunderten Theorie und Experiment. Aber wie vergleicht man abstrakte Konzepte?

In einem neuen Artikel diskutieren Philosophen der UC Santa Barbara und der UC Irvine, wie man die Komplexität wissenschaftlicher Theorien durch den Vergleich ihrer zugrunde liegenden Mathematik abwägen kann. Sie zielen darauf ab, das Ausmaß der Struktur einer Theorie mithilfe der Symmetrie zu charakterisieren – oder der Aspekte eines Objekts, die gleich bleiben, wenn andere Änderungen vorgenommen werden.

Nach vielen Diskussionen bezweifeln die Autoren letztendlich, dass die Symmetrie den Rahmen bieten wird, den sie brauchen. Sie enthüllen jedoch, warum es ein so hervorragender Leitfaden zum Verständnis der Struktur ist. Ihr Artikel erscheint in der Zeitschrift Synthese.

„Wissenschaftliche Theorien tragen ihre Interpretation nicht oft auf der Zunge, daher kann es schwierig sein, genau zu sagen, was sie über die Welt sagen“, sagte Hauptautor Thomas Barrett, außerordentlicher Professor an der Philosophieabteilung der UC Santa Barbara. „Besonders moderne Theorien. Sie werden mit jedem Jahrhundert mathematischer.“ Das Verständnis der Struktur verschiedener Theorien kann uns helfen, ihre Aussage zu verstehen, und uns sogar Gründe liefern, die eine der anderen vorzuziehen.

Struktur kann uns auch dabei helfen, zu erkennen, ob es sich bei zwei Ideen tatsächlich um dieselbe Theorie handelt, nur in unterschiedlicher Kleidung. Beispielsweise formulierten Werner Heisenberg und Erwin Schrödinger zu Beginn des 20. Jahrhunderts zwei separate Theorien der Quantenmechanik. „Und sie hassten die Theorien des anderen“, sagte Barrett. Schrödinger argumentierte, dass die Theorie seines Kollegen „nicht visualisierbar“ sei. Unterdessen fand Heisenberg Schrödingers Theorie „abstoßend“ und behauptete, dass „was Schrödinger über Visualisierbarkeit schreibt.“ […] ist Mist.“

Doch obwohl die beiden Konzepte völlig unterschiedlich aussahen, machten sie tatsächlich die gleichen Vorhersagen. Etwa ein Jahrzehnt später wies ihr Kollege John von Neumann nach, dass die Formulierungen mathematisch äquivalent waren.

Äpfel und Orangen

Eine übliche Methode zur Untersuchung eines mathematischen Objekts besteht darin, seine Symmetrien zu betrachten. Die Idee ist, dass symmetrischere Objekte einfachere Strukturen haben. Vergleichen Sie beispielsweise einen Kreis – der unendlich viele Rotations- und Spiegelungssymmetrien hat – mit einem Pfeil, der nur eine hat. In diesem Sinne ist der Kreis einfacher als der Pfeil und erfordert weniger Mathematik zur Beschreibung.

Die Autoren erweitern diese Rubrik mithilfe von Automorphismen auf eine abstraktere Mathematik. Diese Funktionen vergleichen verschiedene Teile eines Objekts, die in gewissem Sinne „gleich“ sind. Automorphismen bieten uns eine Heuristik zur Messung der Struktur verschiedener Theorien: Komplexere Theorien haben weniger Automorphismen.

Im Jahr 2012 schlugen zwei Philosophen eine Möglichkeit vor, die strukturelle Komplexität verschiedener Theorien zu vergleichen. Ein mathematisches Objekt X hat genau dann mindestens so viel Struktur wie ein anderes, Y, wenn die Automorphismen von X eine Teilmenge derjenigen von Y sind. Betrachten Sie den Kreis noch einmal. Vergleichen Sie es nun mit einem Kreis, der halb rot gefärbt ist. Aufgrund der zusätzlichen Struktur, die dem System hinzugefügt wurde, weist der schattierte Kreis jetzt nur noch einen Teil der Symmetrien auf, die er früher hatte.

Das war ein guter Versuch, aber er verließ sich zu sehr darauf, dass die Objekte die gleichen Symmetrien hatten. Dies funktioniert gut für Formen, funktioniert jedoch bei komplizierterer Mathematik nicht.

Isaac Wilhelm von der National University of Singapore versuchte, diese Sensibilität zu beheben. Wir sollten in der Lage sein, verschiedene Arten von Symmetriegruppen zu vergleichen, solange wir eine Entsprechung zwischen ihnen finden können, die das interne Gerüst jeder einzelnen bewahrt. Durch die Beschriftung eines Bauplans wird beispielsweise eine Entsprechung zwischen einem Bild und einem Gebäude hergestellt, wobei der interne Aufbau des Gebäudes erhalten bleibt.

Die Änderung ermöglicht es uns, die Strukturen sehr unterschiedlicher mathematischer Theorien zu vergleichen, spuckt aber auch falsche Antworten aus. „Leider ist Wilhelm da einen Schritt zu weit gegangen“, sagte Barrett. „Es genügt nicht irgendeine Korrespondenz.“

Ein herausforderndes Unterfangen

In ihrer jüngsten Arbeit versuchten Barrett und seine Co-Autoren JB Manchak und James Weatherall, den Fortschritt ihres Kollegen zu retten, indem sie die Art der Symmetrien oder Automorphismen einschränkten, die sie in Betracht ziehen würden. Möglicherweise ist nur eine Entsprechung koscher, die sich aus den zugrunde liegenden Objekten (z. B. dem Kreis und dem Pfeil) und nicht aus ihren Symmetriegruppen ergibt.

Leider scheiterte auch dieser Versuch. Tatsächlich scheint es, dass die Verwendung von Symmetrien zum Vergleich mathematischer Strukturen prinzipiell zum Scheitern verurteilt sein könnte. Betrachten Sie eine asymmetrische Form. Vielleicht ein Tintenklecks. Nun, es gibt mehr als einen Tintenfleck auf der Welt, die alle völlig asymmetrisch und völlig unterschiedlich voneinander sind. Aber sie haben alle die gleiche Symmetriegruppe – nämlich keine –, sodass alle diese Systeme die Tintenkleckse als gleich komplex klassifizieren, auch wenn einige weitaus unordentlicher sind als andere.

Dieses Tintenklecks-Beispiel zeigt, dass wir nicht alles über die strukturelle Komplexität eines Objekts sagen können, indem wir nur seine Symmetrien betrachten. Wie Barrett erklärte, liegt die Anzahl der Symmetrien, die ein Objekt zulässt, bei Null. Es gibt jedoch keine entsprechende Obergrenze für die Komplexität, die ein Objekt haben kann. Dieses Missverhältnis erzeugt die Illusion einer Obergrenze für die strukturelle Komplexität.

Und darin enthüllen die Autoren das wahre Problem. Das Konzept der Symmetrie eignet sich hervorragend zur Beschreibung von Strukturen. Es erfasst jedoch nicht genügend Informationen über ein mathematisches Objekt – und die wissenschaftliche Theorie, die es repräsentiert –, um einen gründlichen Vergleich der Komplexität zu ermöglichen. Die Suche nach einem System, das dies leisten kann, wird die Wissenschaftler weiterhin beschäftigen.

Ein Hoffnungsschimmer

Auch wenn Symmetrie möglicherweise nicht die von den Autoren erhoffte Lösung bietet, bringen sie eine wichtige Erkenntnis zu Tage: Symmetrien berühren die Konzepte, mit denen ein Objekt auf natürliche und organische Weise ausgestattet ist. Auf diese Weise können sie zum Vergleich der Strukturen unterschiedlicher Theorien und Systeme genutzt werden. „Diese Idee gibt Ihnen eine intuitive Erklärung dafür, warum Symmetrien ein guter Leitfaden für die Struktur sind“, sagte Barrett. Die Autoren schreiben, dass es sich lohnt, an dieser Idee festzuhalten, auch wenn Philosophen auf die Verwendung von Automorphismen zum Strukturvergleich verzichten müssen.

Glücklicherweise sind Automorphismen nicht die einzige Art von Symmetrie in der Mathematik. Anstatt beispielsweise nur globale Symmetrien zu betrachten, können wir uns auch die Symmetrien lokaler Regionen ansehen und diese vergleichen. Barrett untersucht derzeit, wohin dies führen wird, und arbeitet daran zu beschreiben, was es bedeutet, eine Struktur anhand einer anderen zu definieren.

Obwohl uns die Klarheit immer noch fehlt, gibt dieser Aufsatz den Philosophen ein Ziel vor. Wir wissen nicht, wie weit wir auf diesem anspruchsvollen Aufstieg zum Gipfel des Verständnisses bereits sind. Die vor uns liegende Route ist in Nebel gehüllt und es gibt möglicherweise nicht einmal einen Gipfel, den es zu erreichen gilt. Aber die Symmetrie bietet einen Halt, um unsere Seile zu verankern, während wir weiter klettern.