Eine geometrische Form, die sich beim Kacheln nicht wiederholt

Ein Quartett aus Mathematikern der Yorkshire University, der University of Cambridge, der University of Waterloo und der University of Arkansas hat eine geometrische 2D-Form entdeckt, die sich beim Kacheln nicht wiederholt. David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan und Chaim Goodman-Strauss haben einen Aufsatz geschrieben, in dem sie beschreiben, wie sie die einzigartige Form und mögliche Verwendungen dafür entdeckten. Ihr vollständiges Papier ist auf der verfügbar arXiv Preprint-Server.

Wenn Menschen ihre Böden verfliesen, verwenden sie in der Regel einfache geometrische Formen, die sich für sich wiederholende Muster eignen, wie Quadrate oder Dreiecke. Manchmal möchten die Leute jedoch Muster, die sich nicht wiederholen, aber das stellt eine Herausforderung dar, wenn die gleichen Arten von Formen verwendet werden. Bei dieser neuen Anstrengung hat das Forschungsteam eine einzelne geometrische Form entdeckt, die, wenn sie für Fliesen verwendet wird, keine sich wiederholenden Muster erzeugt.

In ihrem Szenario stellten die Forscher fest, dass sich Kacheln auf das Aneinanderfügen von Formen beziehen, sodass es keine Überlappungen oder Lücken gibt. Eine Kachelung ohne sich wiederholende Muster ist als aperiodische Kachelung bekannt und wird im Allgemeinen durch die Verwendung mehrerer Kachelformen erreicht. Seit vielen Jahren beschäftigen sich Mathematiker mit der Idee, Formen zu schaffen, die verwendet werden könnten, um beim Kacheln eine unendliche Vielfalt an Mustern zu erzeugen.

Einer der ersten Versuche führte zu einem Satz von 20.426 Kacheln. Darauf folgte bereits 1974 die Entwicklung der Penrose-Fliesen, die in Sets aus zwei unterschiedlich geformten Rauten erhältlich sind. Seit dieser Zeit haben Mathematiker weiter nach dem gesucht, was als „Einstein“-Form bekannt geworden ist – eine einzelne Form, die allein für aperiodische Kacheln verwendet werden könnte.

Bemerkenswerterweise stammt der Name von dem Ausdruck „ein Stein“ auf Deutsch, nicht von dem berühmten Physiker. In dieser neuen Anstrengung behauptet die Forschungsgruppe, die schwer fassbare Einstein-Form gefunden und mathematisch bewiesen zu haben.

Die Form hat 13 Seiten und das Team bezeichnet sie einfach als „den Hut“. Sie fanden es, indem sie zuerst die Möglichkeiten mit einem Computer reduzierten und dann die resultierenden kleineren Sets von Hand untersuchten. Sobald sie eine ihrer Meinung nach gute Möglichkeit hatten, testeten sie sie mit einem kombinatorischen Softwareprogramm – und bewiesen anschließend mit einem geometrischen Inkommensurabilitätsargument, dass die Form aperiodisch war. Die Forscher schlagen abschließend vor, dass die wahrscheinlichste Anwendung des Hutes in der Kunst liegt.

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