Wie kann man herausfinden, welche Punkte auf einer bestimmten Kurve liegen? Und wie viele mögliche Kurven kann man mit einer bestimmten Anzahl von Punkten zählen? Mit diesen Fragen beschäftigte sich Pim Spelier vom Mathematischen Institut während seiner Doktorarbeit. Am 12. Juni erhielt Spelier seinen Doktortitel mit Auszeichnung.
Kurven zählen, was bedeutet das an einem durchschnittlichen Tag? „Viel sitzen und starren“, antwortet Spelier. „Wenn ich gefragt werde, was ich genau mache, kann ich nicht immer so einfach antworten. Meistens gebe ich das Beispiel mit dem Teilchen, das durch die Zeit reist.“
Alle möglichen Kurven
Stellen Sie sich ein Teilchen vor, das sich durch den Raum bewegt, und Sie folgen dem Weg, den das Teilchen im Laufe der Zeit zurücklegt. Dieser Weg ist eine Kurve, ein geometrisches Objekt. Wie vielen möglichen Wegen kann das Teilchen folgen, wenn wir bestimmte Eigenschaften annehmen? Eine gerade Linie kann beispielsweise nur auf eine Art durch zwei Punkte verlaufen. Aber wie viele Wege sind für das Teilchen möglich, wenn wir uns schwierigere Kurven ansehen? Und wie untersucht man das?
Indem man alle möglichen Kurven gleichzeitig betrachtet. Beispielsweise bilden alle möglichen Richtungen von einem gegebenen Punkt aus miteinander einen Kreis, und das nennt man Modulraum. Und dieser Kreis ist selbst ein geometrisches Objekt.
Die mathematische Magie kann geschehen, weil dieser Satz aller Kurven selbst geometrische Eigenschaften hat, sagt Spelier, auf die man geometrische Tricks anwenden kann. Als nächstes kann man das Ganze mit noch komplexeren Kurven und Räumen noch viel komplizierter machen. Also nicht in drei, sondern beispielsweise in elf Dimensionen.
Spelier versucht, Muster zu finden, die immer auf die Kurven zutreffen, die er untersucht. Sein Ansatz? Er zerlegt komplizierte Räume in kleine, einfache Räume. Man kann Kurven auch in Teilkurven zerlegen. Auf diese Weise sind die Räume, in denen man zählt, einfacher. Aber die Kurven bekommen manchmal komplizierte Eigenschaften, weil man sie wieder zusammenkleben muss.
Spelier sagt: „Das Ziel besteht darin, genügend Prinzipien zu finden, um die Anzahl der Kurven genau zu bestimmen.“
Suche nach Beweisen für Punkte auf Kurven
Spelier zählte nicht nur Kurven, sondern auch Punkte auf Kurven. Er untersuchte die Frage: Wie viele Lösungen hat eine gegebene mathematische Gleichung?
Dies sind Gleichungen, die etwas komplizierter sind als die Gleichung a2 + b2 = c2 des Satzes des Pythagoras. Diese Gleichung handelt von den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Wenn Sie die Quadrate durch höhere Potenzen ersetzen, ist es schwieriger, Lösungen zu untersuchen. Spelier untersuchte Lösungen in ganzen Zahlen, zum Beispiel 32 + 42 = 52.
Mittlerweile gibt es eine Methode, um diese Lösungen zu finden. Der 2022 verstorbene Mathematikprofessor Bas Edixhoven und sein Doktorand Guido Lido entwickelten einen alternativen Ansatz für das gleiche Problem. Doch inwieweit sich die beiden Methoden ähneln und unterscheiden, war noch unklar. Während seiner Doktorarbeit entwickelte Spelier einen Algorithmus, um dies zu untersuchen.
Die erste Person mit einer Antwort
Die Entwicklung dieses Algorithmus ist notwendig, um die Methode zu implementieren. Wenn Sie dies von Hand tun möchten, erhalten Sie seitenweise Gleichungen. Edixhovens Methode verwendet algebraische Geometrie. Durch clevere geometrische Tricks können Sie die ganzzahligen Punkte einer gegebenen Kurve genau berechnen. Spelier hat bewiesen, dass die Edixhoven-Lido-Methode besser ist als die alte.
David Holmes, Professor für Reine Mathematik und Betreuer von Spelier, lobt den erbrachten Beweis. „Wenn man als Erster eine Frage beantwortet, auf die jeder in unserer Gemeinschaft eine Antwort haben möchte, ist das sehr beeindruckend. Pim beweist, dass diese beiden Methoden zum Finden rationaler Punkte ähnlich sind, ein Thema, das Mathematiker wirklich beschäftigt hat.“
Gemeinsam Mathe machen
Das Beste an seiner Promotion? Die Treffen mit seinem Betreuer. Nach dem ersten Jahr war es für Spelier und Holmes mehr Zusammenarbeit als Betreuung. Spelier sagt: „Gemeinsam Mathe zu machen macht immer noch mehr Spaß als allein.“
Spelier startet im September als Postdoc in Utrecht und ist mit dem Zählen offenbar noch nicht fertig. Nach dem Zählen von Punkten und Kurven wird er bald mit dem Zählen von Flächen beginnen.
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These: Zählen von Kurven und ihren rationalen Punkten