Die Mathematik, die uns klar macht, dass wir nicht viel wissen: Verhalten von Spingläsern

Spingläser sind Legierungen aus Edelmetallen, in denen eine geringe Menge Eisen gelöst ist. Obwohl sie in der Natur nicht vorkommen und nur wenige Anwendungen haben, stehen sie dennoch seit etwa 50 Jahren im Mittelpunkt des Interesses statistischer Physiker. Studien zu Spingläsern waren entscheidend für den Nobelpreis 2021 für Physik von Giorgio Parisi.

Das wissenschaftliche Interesse an Spingläsern liegt darin, dass sie ein Beispiel für ein komplexes System sind, dessen Elemente mal kooperativ, mal konträr miteinander interagieren. Die Mathematik, die entwickelt wurde, um ihr Verhalten zu verstehen, kann auf Probleme angewendet werden, die in einer Vielzahl von Disziplinen auftreten, von der Ökologie bis zum maschinellen Lernen, ganz zu schweigen von der Ökonomie.

Spingläser sind magnetische Systeme, also Systeme, in denen sich einzelne Elemente, die Spins, wie kleine Magnete verhalten. Ihre Besonderheit ist das gleichzeitige Vorhandensein von Bindungen vom ferromagnetischen Typ, die dazu neigen, die Spins auszurichten, mit Bindungen vom antiferromagnetischen Typ, die dazu neigen, sie in entgegengesetzte Richtungen auszurichten.

Dies führt dazu, dass Konfigurationen mit niedrigerer Energie Restfrustration aufweisen: Es ist nicht möglich, eine Anordnung von Spins zu finden, die alle Bindungen erfüllt. Die frustrierten Konfigurationen sind auch in einer riesigen (exponentiellen!) Anzahl möglicher Gleichgewichte gebündelt. Dies steht in krassem Gegensatz zu dem, was in rein ferromagnetischen Systemen passiert, wo bei niedriger Temperatur nur zwei Zustände zulässig sind (Spin-ausgerichtet „oben“ oder Spin-ausgerichtet „unten“).

Um eine Analogie zu einem Ökosystem herzustellen, weist eine hohe Anzahl von Gleichgewichten auf ein widerstandsfähiges Ökosystem hin, das in der Lage ist, beispielsweise das Verschwinden einer Art durch eine begrenzte Anzahl von Neuordnungen zu bewältigen. Eine niedrige Gleichgewichtszahl beschreibt ein zerbrechliches System, das zahlreiche und komplizierte Umlagerungen erfordert, um wieder ins Gleichgewicht zu kommen, und daher durch relativ kleine Störungen ernsthaft beschädigt, wenn nicht sogar zerstört werden kann.

Diese Phänomenologie wurde in unendlich dimensionierten Systemen, sogenannten Mean-Field-Systemen, gut aufgeklärt und mathematisch beschrieben, deren Lösung 1979 von Parisi geliefert und in den Folgejahren mit Hilfe von Marc Mézard (jetzt a ordentlicher Professor bei Bocconi) und Michelangelo Virasoro.

„Eines der am meisten diskutierten Themen“, wie Carlo Lucibello, Assistenzprofessor am Institut für Informatik und Co-Autor, zusammen mit Parisi und anderen, eines gerade veröffentlichten Artikels in Briefe zur körperlichen Überprüfung erklärt, „ist, inwieweit die Mean-Field-Phänomenologie in niedriger Dimensionalität gilt.“

Denn wir wissen, dass sich das System in Dimension 1, also auf einer Spinkette, immer in einer paramagnetischen Phase befindet, es also durch Absenken der Temperatur weder zu einer Spinglasphase mit ihren vielen Gleichgewichten noch zu einer einfachen ferromagnetischen Phase kommt .

„Es gibt eine sogenannte kritische obere Dimension“, sagt Lucibello, „über der die Mean-Field-Theorie greift, die es uns ermöglicht, die Exponenten vorherzusagen, die den Übergang bestimmen. Im Moment kann jedoch niemand mit Sicherheit sagen, welche Dimension diese Dimension hat ist (5, 6 oder eine nicht ganzzahlige Zahl?) und was passiert darunter.“

Der gerade von Lucibello und Co-Autoren veröffentlichte Artikel stellt eine neue mathematische Technik zur Analyse endlichdimensionaler Systeme vor. Die neue Theorie sagt eine kritische höhere Dimension von 8 voraus, sodass wir vernünftigerweise schlussfolgern können, dass Spingläser in unserer dreidimensionalen Welt wahrscheinlich nicht durch eine Mean-Field-Theorie beschrieben werden können und dass auf diesem Gebiet noch viel zu tun ist der Theoretischen Physik.