Der Informationstransport könnte durch Hopfions verbessert werden

Die Knotentheorie hat ihren Ursprung in Lord Kevins 1867 vorgeschlagenem Modell, dass Atome aus Wirbelringen oder Knoten bestehen. Obwohl sich die Hypothese als falsch erwiesen hat, hat sich die Knotentheorie seitdem sowohl in der Mathematik als auch in der Physik verbreitet. Eine besondere Kategorie von Knoten – die Torusknoten – sind unzusammenhängende und verbundene geschlossene Schleifen, die sich verschachteln, um vollständige Ring-Tori zu konstruieren. Physiker halten den Torusknoten für einen geeigneten Kandidaten zum Bau von Hopfionen – dreidimensionale (3D) topologische Zustände, die partikelähnlichen Objekten ähneln.

Hopfionen sind nach Heinz Hopf benannt, der 1931 die Hopf-Faserung entdeckte. Die Urbilder beliebiger Punkte in S₂ sind disjunkte und miteinander verbundene Kreise (S₁) in S₃. das sich im vierdimensionalen Raum befindet, kann durch stereografische Projektion „gesehen“ werden, und die topologischen Merkmale der Verbundenheit geschlossener Schleifen bleiben erhalten.

In einem neuen Artikel, erschienen in eLight, hat ein Team von Wissenschaftlern unter der Leitung von Professor Qiwen Zhan von der Universität Shanghai für Wissenschaft und Technologie dynamische skalare optische Hopfionen in Form eines toroidalen Wirbels demonstriert. Das Papier „Scalar Optical Hopfions“ zeigte, wie diese toroidalen Wirbel als Näherungslösung für die Maxwell-Gleichungen ausgedrückt werden können. Diese Forschung könnte Anwendungen in künstlichen Materialien, Nanostrukturen und optischer Kommunikation finden.

Die Suche nach Hopfionen in physikalischen Systemen begann mit den wegweisenden Arbeiten von Korepin und Faddeev. Nach fast einem halben Jahrhundert wurden Hopfen in verschiedenen Wissenschaftszweigen entdeckt. Hopf-Strukturen wurden in superflüssigem Helium als teilchenähnliche Objekte mit endlichen Dimensionen und Energie entdeckt.

Nulllösungen der Maxwell-Gleichungen zeigen, dass elektromagnetische Feldlinien, Spin- oder Polarisationsvektoren auf Basis der Hopf-Faserung zu vielfältigen Knoten und Verknüpfungen verknüpft und als Informationsträger genutzt werden können.

Wirbellinien in Flüssigkeiten erscheinen in Hopf-topologischen Strukturen, und die Verbundenheit und Verknotung bleiben in nichtviskosen Flüssigkeiten erhalten. Topologische Defektlinien in Flüssigkristallen werden gezwickt, um Hopf-Links zu erzeugen. Die oben erwähnten Hopfions sind Vektorhopfions, bei denen jeder Punkt in S&sub2; einem Vektor mit mehreren Freiheitsgraden entspricht.

Im Gegensatz dazu wird jeder Punkt in S&sub2; von skalaren Hopfionen durch den Wert eines skalaren Parameters unterschieden. Das entsprechende Urbild ist eine geschlossene Schleife, die aus allen Punkten besteht, die denselben Skalarwert haben. Skalare Hopfionen wurden vorhergesagt und es wird angenommen, dass sie in einem Bose-Einstein-Kondensat (BEC), das durch inhomogene Magnetfelder kontrolliert wird, oder in einem rotierenden gefangenen atomaren BEC experimentell durchführbar sind.

Das vorgeschlagene Konzept skalarer optischer Hopfionen ist ein raumzeitlich strukturierter Impuls, der sich in der Raumzeit ausbreitet. Es stellt eine zusätzliche Dimension (Zeit) bereit, um topologische Informationen zu codieren und zu übertragen. Das dynamische skalare optische Hopfion ist ein Wanderwellenpaket in Form eines toroidalen Wirbels. Skalare optische Hopfionen werden durch verschachtelte Gleichphasenlinien gewebt, die einem komplexen Knoten oder mehreren ungeknoteten und miteinander verbundenen geschlossenen Schleifen entsprechen.

Die Verknüpfungszahl zweier gleichphasiger Leitungen wird durch die Hopf-Invariante bestimmt, die das Produkt der Windungszahlen ist. Alle gleichphasigen Linien bilden eine unendliche Anzahl von Schichten vollständiger Ring-Tori. Die Entdeckung skalarer optischer Hopfionen könnte das Interesse an der Erforschung neuartiger Methoden für die Licht-Materie-Wechselwirkung, optische Messtechnik, Informationskodierung und optische Manipulation wecken.

Die Charakterisierung eines skalaren optischen Hopfions ist eine anspruchsvolle Aufgabe, die eine hochauflösende und vollständige 3D-Phasenmessung eines ultraschnellen Wellenpakets erfordert. Begrenzt durch vorhandene Möglichkeiten führen wir eine zweidimensionale Phasenmessung der poloidalen Spiralphase durch Interferenz mit dem Hopfion-Wellenpaket durch (l₁ = 1, l₂ = 1) mit einem transformierungsbegrenzten Referenzimpuls, der von der Quelle getrennt ist.

Der Referenzpuls ist zeitlich erheblich kürzer und interferiert mit Hilfe eines elektronisch gesteuerten Präzisionstisches mit jedem zeitlichen Schnitt des Hopfion-Wellenpakets. Die poloidale Phase ist theoretisch eine Spiralphase im raumzeitlichen Bereich. Es werden acht Punkte bei gleich beabstandeten Toruswinkeln ausgewählt und die Interferenzmuster an diesen Punkten werden analysiert.

Die Orientierungen der Spiegel werden sorgfältig eingestellt, so dass die Streifen parallel zu dem spezifizierten Toruswinkel sind. Da der Referenzimpuls mit dem Kopf des Hopfion-Wellenpakets interferiert, sind die Streifenmuster gerade. Die Ränder beginnen sich zu krümmen, wenn sie sich dem Zentrum des raumzeitlichen Wirbels nähern. Wenn der zeitliche Schnitt mit dem Wirbelkern zusammenfällt, werden die oberen und unteren Streifen um eine halbe Periode verschoben.

Während das zeitliche Aufschneiden fortgesetzt wird, biegen sich die Streifen in die entgegengesetzte Richtung und werden wieder gerade, wenn sich das Aufschneiden dem Ende des Hopfion-Wellenpakets nähert. Anhand der Streifenmuster kann die poloidale Spiralphase rekonstruiert werden. Die toroidale Spiralphase ist eine von SLM3 angewendete räumliche Spiralphase, die in diesem Fall aufgrund der Schwierigkeiten bei der vollständigen Auflösung der 3D-Details der Phasenverteilungen des gesamten Wellenpakets als perfekt angenommen wird.

Die Gesamtphase ist die Summe der poloidalen Phase und der toroidalen Phase. Die topologischen Merkmale eines skalaren optischen Hopfions werden vorgestellt.

Zusammenfassend wird ein dynamisches skalares optisches Hopfion-Modell vorgeschlagen und sein analytischer Ausdruck als Näherungslösung für die Maxwell-Gleichungen bereitgestellt. Numerische Simulationen und experimentelle Daten zeigen, dass die Gleichphasenlinien disjunkte und verbundene geschlossene Schleifen in Form von Verbindungen und Knoten mit einer durch die Hopf-Invariante bestimmten Verknüpfungszahl sind.

Alle gleichphasigen Schleifen bilden vollständige Tori, die den gesamten 3D-Raum ausfüllen. Die dynamischen skalaren optischen Hopfionen bieten eine photonische Testumgebung für die Untersuchung topologischer Zustände, die partikelähnlichen Objekten ähneln. Sie könnten Anwendungen in der raumzeitlichen Modenanregung in künstlichen Materialien und Nanostrukturen finden. Als hochdimensionale Informationsträger bieten sich auch Möglichkeiten in der optischen Kommunikation.