Billard mit Gedächtnisrahmen führt zu mathematischen Fragen

Das Hinzufügen einer einfachen Regel zu einem idealisierten Billardspiel führt zu einer Fülle faszinierender mathematischer Fragen sowie zu Anwendungen in der Physik lebender Organismen. Diese Woche haben Forscher der Universität Amsterdam, darunter zwei Masterstudenten als Erstautoren, dies getan veröffentlicht ein Papier in Briefe zur körperlichen Untersuchung über die faszinierende Dynamik des Billards mit Gedächtnis.

Eine idealisierte Version des Billardspiels fasziniert Mathematiker seit Jahrzehnten. Die Grundfrage ist einfach: Sobald eine Billardkugel gespielt wird, wohin geht sie und wo landet sie? Gehen Sie davon aus, dass das Billard perfekt ist: Die Wände sind perfekt federnd, es liegen keine anderen Gegenstände auf dem Tisch, die Bewegung der Kugel erfolgt reibungslos und so weiter. Dann wird der Ball nirgendwo wirklich „enden“; es wird ewig so weitergehen.

Aber kehrt es jemals dorthin zurück, wo es begann? Besucht es irgendwann jeden Teil des Tisches? Wenn wir die Richtung des Balls oder seine Startposition leicht ändern, sieht der Weg, dem er folgt, wie der vorherige aus?

Alle diese Fragen erweisen sich aus mathematischer Sicht als sehr interessant. Ihre Antworten sind nicht immer bekannt – insbesondere wenn die Form des Billards nicht einfach ist, wie ein Quadrat oder ein Rechteck. Beispielsweise ist bei dreieckigen Billardtischen mit Ecken von weniger als 100 Grad bekannt, dass es immer periodische Bahnen gibt – Bahnen, denen die Kugel folgen kann und die von selbst zurückkehren.

Dies lässt sich mathematisch beweisen. Ändern Sie nun eine der Ecken in einen etwas größeren Winkel, und kein Mathematiker kennt mehr die Antwort.

Idealisierte Billardspiele sind nicht nur eine Lieblingsbeschäftigung von Mathematikern. Sie haben auch tiefgreifende Auswirkungen auf die Physik und andere Wissenschaften. Viele der Fragen zum Billard lassen sich als Fragen zum Chaos formulieren: Führen ähnliche Anfangsbedingungen eines dynamischen Systems – sei es eine Kugel auf einem Billardtisch, ein Molekül in einem Gas oder ein Vogel in einem Schwarm – immer zu ähnlichen Endbedingungen? Ergebnisse?

Eine neue Regel

Bei einer an der Universität Amsterdam durchgeführten Forschung hat ein Team von Physikern herausgefunden, dass durch eine geringfügige Änderung der Regeln des Billardspiels die Zahl der Anwendungen in der realen Welt noch weiter steigt.

Mazi Jalaal, Co-Autor der Publikation und Leiter der Gruppe, in der die Forschung durchgeführt wurde, erklärt: „In der Natur haben viele lebende Organismen eine äußere Form des Gedächtnisses. Sie hinterlassen beispielsweise Spuren, um sich daran zu erinnern, wo sie waren.“ Diese Informationen können sie dann nutzen, um entweder dieselbe Route erneut zu verfolgen oder – beispielsweise bei der Nahrungssuche – dieselbe Region nicht noch einmal zu erkunden.

Letztere Option führte die Forscher zu einer interessanten Idee: Was wäre, wenn wir dem Billardspiel eine Regel hinzufügen würden, nämlich dass der Ball niemals seinen eigenen vorherigen Weg kreuzen darf? Die Folge ist, dass die effektive Größe des Billardtisches immer kleiner wird. Tatsächlich wird der Ball schließlich durch seine eigene Flugbahn gefangen.

Spannende neue Fragen

Der Einfangeffekt macht das System noch faszinierender. Selbst einfache Fragen werden jetzt äußerst faszinierend. Wie weit fliegt ein Ball, bevor er gefangen wird? Die Antwort variiert, sowohl von der Form des Tisches als auch vom Startpunkt und der Richtung des Balls.

Manchmal legt der Ball eine Strecke zurück, die nur ein paar Mal so groß ist wie die Größe des Tisches, manchmal kann er das Hundertfache dieser Strecke zurücklegen, bevor er gefangen wird. Wo der Ball letztendlich in seinem gefangenen Zustand landet, ist ebenfalls eine komplizierte Frage; Das millionenfache Wiederholen des Experiments am Computer, jedes Mal mit einer etwas anderen Startposition und Geschwindigkeit, führt zu wunderschönen Mustern endgültiger Konfigurationen.

Das Bild oben in diesem Text zeigt einige dieser schönen Beispiele. Interessanterweise können die resultierenden dynamischen Systeme chaotisch sein. Eine geringfügige Änderung der Startposition oder der Geschwindigkeit des sich selbst ausweichenden Balls kann dazu führen, dass dieser an einer völlig anderen Stelle des Billards hängen bleibt.

Darüber hinaus ist es im Gegensatz zu dem, was auf einem gewöhnlichen Billardtisch passiert, nicht so wahrscheinlich, dass die sich selbst ausweichende Kugel irgendwo landet. Einige Regionen sind wahrscheinlicher als andere. Um all diese Merkmale zu erklären und zu beweisen, haben die Mathematiker sicherlich noch einiges zu tun.

Endlose Anwendungen

Eine interessante Besonderheit der Publikation ist, dass beide Erstautoren Masterstudenten sind. Jalaal fügt hinzu: „Die Idee eines ‚Billards mit Gedächtnis‘ ist so einfach und neu genug, dass für deren Erforschung keine jahrelange Erfahrung erforderlich ist. Thijs und Stijn haben großartige Arbeit geleistet, indem sie sich das Material zu eigen gemacht und clevere Wege gefunden haben, all dies zu studieren.“ Ich freue mich sehr, dass sie bereits Hauptautoren einer Publikation sein können.

Die Ergebnisse sind nur die ersten Schritte in einem möglicherweise völlig neuen Forschungsgebiet. Es gibt nicht nur viele interessante mathematische Fragen, die jetzt darauf warten, beantwortet zu werden; Auch die Anwendungen in der Physik, einschließlich der Biophysik, sind endlos.

Jalaal sagt: „Das Konzept des Einfangens schreit danach, erforscht zu werden, auch in realen Systemen. Wir wissen zum Beispiel, dass einzellige Schleimpilze selbstvermeidende Wege nutzen. Werden sie auch gefangen und was passiert, wenn?“ Oder verfügen sie über clevere Mechanismen, um dies überhaupt zu verhindern? Nutzen sie es, um Suchstrategien für Lebensmittel zu verbessern?

„Die Ergebnisse würden uns helfen, diese biologischen Systeme besser zu verstehen und vielleicht sogar die Erkenntnisse, die wir daraus ziehen, einfließen zu lassen, um diese Form des Billards mit Gedächtnis für den Einsatz in Robotern zu optimieren.“