Zusammenführung von KI und menschlichem Einsatz zur Lösung komplexer mathematischer Probleme

Durch die schnelle Analyse großer Datenmengen und die Erstellung präziser Vorhersagen könnten Werkzeuge der künstlichen Intelligenz (KI) dazu beitragen, viele seit langem bestehende Forschungsfragen zu beantworten. So könnten sie beispielsweise dazu beitragen, neue Materialien für die Herstellung elektronischer Geräte zu identifizieren oder Muster in der Gehirnaktivität zu erkennen, die mit bestimmten menschlichen Verhaltensweisen in Zusammenhang stehen.

Ein Bereich, in dem KI bisher kaum Anwendung findet, ist die Zahlentheorie, ein Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium ganzer Zahlen und arithmetischer Funktionen beschäftigt. Die meisten Forschungsfragen in diesem Bereich werden von menschlichen Mathematikern gelöst, oft Jahre oder Jahrzehnte nach ihrer Einführung.

Forscher am Israel Institute of Technology (Technion) haben sich vor kurzem mit der Frage beschäftigt, ob es möglich ist, seit langem bestehende Probleme der Zahlentheorie mithilfe hochmoderner Computermodelle zu lösen.

In einer kürzlichen Papierveröffentlicht im Verfahren der Nationalen Akademie der Wissenschaftenzeigten sie, dass ein solcher rechnergestützter Ansatz die Arbeit von Mathematikern unterstützen und ihnen zu neuen spannenden Entdeckungen verhelfen kann.

„Computeralgorithmen dominieren zunehmend die wissenschaftliche Forschung, eine Praxis, die heute allgemein als ‚KI für die Wissenschaft‘ bezeichnet wird“, erklärten Rotem Elimelech und Ido Kaminer, die Autoren des Artikels, gegenüber Phys.org.

„In Bereichen wie der Zahlentheorie werden Fortschritte jedoch häufig der Kreativität oder der menschlichen Intuition zugeschrieben. In diesen Bereichen können Fragen Hunderte von Jahren lang ungeklärt bleiben, und obwohl die Antwort darauf so einfach sein kann wie die Entdeckung der richtigen Formel, gibt es keinen klaren Weg dorthin.“

Elimelech, Kaminer und ihre Kollegen haben die Möglichkeit untersucht, dass Computeralgorithmen die mathematische Intuition automatisieren oder erweitern könnten. Dies inspirierte sie zur Gründung der Forschungsgruppe Ramanujan Machine, einer neuen gemeinsamen Initiative zur Entwicklung von Algorithmen zur Beschleunigung der mathematischen Forschung.

Zu ihrer Forschungsgruppe für diese Studie gehörten auch Ofir David, Carlos de la Cruz Mengual, Rotem Kalisch, Wolfram Berndt, Michael Shalyt, Mark Silberstein und Yaron Hadad.

„Auf philosophischer Ebene untersucht unsere Arbeit das Zusammenspiel zwischen Algorithmen und Mathematikern“, erklärten Elimelech und Kaminer. „Unser neues Papier zeigt tatsächlich, dass Algorithmen die notwendigen Daten liefern können, um kreative Erkenntnisse zu inspirieren, die zur Entdeckung neuer Formeln und neuer Verbindungen zwischen mathematischen Konstanten führen.“

Das erste Ziel der aktuellen Studie von Elimelech, Kaminer und ihren Kollegen war es, neue Erkenntnisse über mathematische Konstanten zu gewinnen. Während sie auf dieses Ziel hinarbeiteten, wollten sie auch alternative Ansätze für die Durchführung von Forschungen in der reinen Mathematik testen und fördern.

„Das ‚konservative Matrixfeld‘ ist eine Struktur analog zum konservativen Vektorfeld, das jeder Mathematik- oder Physikstudent im ersten Studienjahr lernt“, erklärten Elimelech und Kaminer. „In einem konservativen Vektorfeld, wie dem elektrischen Feld, das von einem geladenen Teilchen erzeugt wird, können wir die Potenzialänderung mithilfe von Linienintegralen berechnen.“

„In ähnlicher Weise definieren wir in konservativen Matrixfeldern ein Potenzial über einem diskreten Raum und berechnen es durch Matrixmultiplikationen, anstatt Linienintegrale zu verwenden. Das Reisen zwischen zwei Punkten entspricht der Berechnung der Potenzialänderung und erfordert eine Reihe von Matrixmultiplikationen.“

Im Gegensatz zum konservativen Vektorfeld ist das sogenannte konservative Matrixfeld eine Neuentdeckung. Ein wichtiger Vorteil dieser Struktur ist, dass sie die Formeln jeder mathematischen Konstante verallgemeinern kann, wodurch unendlich viele neue Formeln derselben Art entstehen.

„Das konservative Matrixfeld erzeugt eine Formel, indem es zwischen zwei Punkten hin- und herreist (oder eigentlich von einem Punkt bis ins Unendliche innerhalb seines diskreten Raums)“, sagten Elimelech und Kaminer. „Nicht-triviale Matrixfelder zu finden, die auch konservativ sind, ist eine Herausforderung.“

Im Rahmen ihrer Studie verwendeten Elimelech, Kaminer und ihre Kollegen verteiltes Rechnen im großen Maßstab, bei dem mehrere miteinander verbundene Knoten zusammenarbeiten, um komplexe Probleme zu lösen. Mit diesem Ansatz konnten sie neue rationale Sequenzen entdecken, die zu fundamentalen Konstanten (also Formeln für diese Konstanten) konvergieren.

„Jede Sequenz stellt einen Pfad dar, der im konservativen Matrixfeld verborgen ist“, erklärten Elimelech und Kaminer. „Aus der Vielfalt solcher Pfade haben wir das konservative Matrixfeld rückwärts entwickelt. Unsere Algorithmen wurden verteilt mit BOINCeine Infrastruktur für freiwilliges Computing. Wir danken Hunderten von Benutzern weltweit für ihren Beitrag, die gespendete Rechenzeit in den letzten zweieinhalb Jahren, wodurch diese Entdeckung möglich wurde.“

Die jüngste Arbeit des Forschungsteams am Technion zeigt, dass Mathematiker noch viel mehr von der Verwendung von Computerwerkzeugen und Algorithmen profitieren können, die ihnen ein „virtuelles Labor“ bieten. Solche Labore bieten die Möglichkeit, Ideen experimentell am Computer auszuprobieren, was den realen Experimenten in der Physik und anderen Wissenschaftsbereichen ähnelt. Insbesondere können Algorithmen mathematische Experimente durchführen und Formeln liefern, mit denen neue mathematische Hypothesen formuliert werden können.

„Solche Hypothesen oder Vermutungen sind es, die die mathematische Forschung vorantreiben“, sagten Elimelech und Kaminer. „Je mehr Beispiele eine Hypothese stützen, desto stärker wird sie und desto wahrscheinlicher ist es, dass sie richtig ist. Algorithmen können auch Anomalien entdecken, die auf Phänomene hinweisen, die die Bausteine ​​für neue Hypothesen bilden. Solche Entdeckungen wären ohne groß angelegte mathematische Experimente mit verteilter Datenverarbeitung nicht möglich.“

Ein weiterer interessanter Aspekt dieser aktuellen Studie ist, dass sie die Vorteile des Aufbaus von Communities zur Problemlösung aufzeigt. Tatsächlich veröffentlichten die Forscher ihren Code bereits in den frühen Tagen ihres Projekts online und verließen sich auf die Beiträge eines großen Netzwerks von Freiwilligen.

„Unsere Studie zeigt, dass wissenschaftliche Forschung auch ohne exklusiven Zugang zu Supercomputern durchgeführt werden kann, was einen wesentlichen Schritt in Richtung Demokratisierung der wissenschaftlichen Forschung darstellt“, sagten Elimelech und Kaminer. „Wir veröffentlichen regelmäßig unbewiesene Hypothesen, die von unseren Algorithmen generiert werden, und fordern andere Mathematikbegeisterte auf, diese Hypothesen zu beweisen. Wenn sie bestätigt werden, werden sie auf unserer Projektwebsite. Dies ist bisher mehrmals geschehen. Einer der Community-Mitwirkenden, Wolfgang Berndt, war so engagiert, dass er nun Teil unseres Kernteams und Co-Autor des Papiers ist.“

Der kollaborative und offene Charakter dieser Studie ermöglichte es Elimelech, Kaminer und dem Rest des Teams, neue Kooperationen mit anderen Mathematikern weltweit aufzubauen. Darüber hinaus weckte ihre Arbeit das Interesse einiger Kinder und Jugendlicher, da sie ihnen zeigte, wie Algorithmen und Mathematik auf faszinierende Weise kombiniert werden können.

In ihren nächsten Studien wollen die Forscher die Theorie der konservativen Matrixfelder weiterentwickeln. Diese Matrixfelder sind ein äußerst leistungsfähiges Werkzeug zur Generierung von Irrationalitätsbeweisen für Naturkonstanten, mit denen Elimelech, Kaminer und das Team weiter experimentieren möchten.

„Unser derzeitiges Ziel ist es, Fragen zur Irrationalität berühmter Konstanten zu untersuchen, deren Irrationalität unbekannt ist und manchmal über hundert Jahre lang eine offene Frage bleibt, wie im Fall der Katalanische Konstante,“ sagten Elimelech und Kaminer.

„Ein weiteres Beispiel ist die Riemannsche Zeta-Funktion, die in der Zahlentheorie eine zentrale Rolle spielt und deren Nullstellen das Herzstück der Riemannschen Vermutung bilden, die vielleicht das wichtigste ungelöste Problem der reinen Mathematik ist. Es gibt viele offene Fragen zu den Werten dieser Funktion, einschließlich der Irrationalität ihrer Werte. Insbesondere die Frage, ob ζ(5) irrational ist, ist eine offene Frage, die die Bemühungen großer Mathematiker auf sich zieht.“

Das ultimative Ziel dieses Forscherteams ist es, mit ihrem experimentellen mathematischen Ansatz erfolgreich die Irrationalität einer dieser Konstanten zu beweisen. In der Zukunft hoffen sie, ihren Ansatz auch systematisch auf ein breiteres Spektrum von Problemen in Mathematik und Physik anwenden zu können. Ihr physikalisch inspirierter, praktischer Forschungsstil ergibt sich aus der interdisziplinären Natur des Teams, das Menschen mit Spezialisierung in Informatik, Elektrotechnik, Mathematik und Physik vereint.

„Unsere Ramanujan-Maschinengruppe kann anderen Forschern dabei helfen, Suchalgorithmen für ihre wichtigen Probleme zu erstellen und dann mithilfe verteilter Berechnungen große Bereiche zu durchsuchen, die sonst nicht erreichbar wären“, fügten Elimelech und Kaminer hinzu. „Jeder dieser Algorithmen wird, wenn er erfolgreich ist, dazu beitragen, neue Phänomene und schließlich neue Hypothesen in der Mathematik aufzuzeigen und so dabei helfen, vielversprechende Forschungsrichtungen zu wählen. Wir erwägen nun, diese Strategie voranzutreiben, indem wir eine virtuelle Benutzereinrichtung für experimentelle Mathematik einrichten“, inspiriert von der langen Geschichte und Wirkung von Benutzereinrichtungen für experimentelle Physik.

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