Eine Studie unter der Leitung von Dr. Guancong Ma (Department of Physics, Hong Kong Baptist University, Kowloon Tong, Hong Kong, China) und Dr. Kun Ding (Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200438, China) bietet eine neue Perspektive für die Studium nicht-abelscher Phänomene und Zustandspermutationen.
Permutation ist für eine Vielzahl körperlicher Probleme von großer Bedeutung. Eine effektive Möglichkeit, Bosonen von Fermionen zu unterscheiden, besteht beispielsweise darin, zwei identische Teilchen auszutauschen. Als neues Quasiteilchen anders als Fermion und Boson ist die Permutation von Anyonen komplizierter und muss durch eine Matrix beschrieben werden. Da das Kommutativgesetz nicht auf die Matrixmultiplikation angewendet werden kann, werden in einem Anyon-System nicht-Abelsche Permutationen erwartet. Darüber hinaus hat die Umsetzung nicht-abelscher Permutationen in anderen Systemen großes Interesse geweckt.
„Die geometrische Phase mehrerer Zustände unter adiabatischer Evolution ist im Wesentlichen eine einheitliche Matrix, die auf nicht-Abelsche Gruppen abgebildet werden kann. Dies ermöglicht die Realisierung einer nicht-Abelschen Permutation durch den parallelen Transport von drei oder mehr entarteten Zuständen.“ Ma erklärt.
Hermitizität ist eine wichtige mathematische Eigenschaft von Matrizen oder Operatoren, die die Existenz eines realen Energiespektrums garantiert – eine natürliche Erwartung für viele physikalische Systeme sowohl in der klassischen als auch in der Quantenmechanik. Viele Studien in den letzten zwei Jahrzehnten haben jedoch gezeigt, dass nicht-hermitescher Formalismus manchmal eine bessere Rolle bei der Beschreibung offener Systeme spielen kann, die Energie mit ihrer Umgebung austauschen. Systeme mit Gewinn und/oder Verlust gehören zu einer solchen Kategorie. In dieser Arbeit veranschaulichen die Forscher, dass sich nicht-hermitesche Systeme von ihren hermiteschen Gegenstücken durch ein Schlüsselmerkmal, komplexe Eigenwerte und Eigenfunktionen unterscheiden. Diese Funktion ermöglicht mehrere miteinander verbundene Eigenwert-Riemannsche Oberflächen, auf denen Zweigsingularitäten gefunden werden können, die als Ausnahmepunkte (EP) bekannt sind. „Wenn Sie eine geschlossene Schleife um ein EP ziehen, landen Sie möglicherweise auf einer anderen Oberfläche, genau wie wenn Sie eine Wendeltreppe hinauf oder hinunter gehen. Dieser Vorgang wird vom Austausch der Eigenzustände begleitet. Dies ist der Schlüssel zur Realisierung der Zustandspermutationen in unserer Arbeit.“ Ding fügt hinzu.
Diese Studie basiert auf einem nicht-hermitischen System mit drei Zuständen, das zwei getrennte EAs, glatte Trajektorien von EPs der Ordnung 2, in einem 3D-Parameterraum bildet. Forscher stellen fest, dass ein EA durch die Koaleszenz von Zustand 1 und 2 gebildet wird, sodass das Einkreisen eines beliebigen EP dieses EA zum Austausch von Zustand 1 und 2 führt, was der Operation μ2 der nicht-Abelschen Diedergruppe entspricht. Im Gegensatz dazu wird ein weiterer EA durch die Koaleszenz von Zustand 2 und 3 erzeugt, was darauf hinweist, dass Zustand 2 und 3 ausgetauscht werden können (Operation μ1).
Die Forscher verketten die umlaufenden Schleifen um zwei EAs in unterschiedlichen Reihenfolgen weiter und erreichen so zwei unterschiedliche Permutationen mit drei Zuständen, was definitiv eine Manifestation der nicht-Abelschen Eigenschaften ist. Diese beiden Zustandspermutationen können durch die Operationen der nicht-abelschen Gruppe ρ1 und ρ2 beschrieben werden.
Diese Permutationen werden experimentell in der Akustik beobachtet. Das akustische System ähnelt dem in berichteten Wissenschaft (2020). In diesem Experiment stimmen die Forscher den Verlust und das Hohlraumvolumen der akustischen Hohlräume auf die spezifischen Werte ab, die durch die umlaufende Schleife um den EP definiert sind. Dann messen sie die Eigenwerte und Eigenfunktionen des akustischen Systems an verschiedenen Parameterpunkten. Die Entwicklung der Eigenwerte und der parallele Transport der Eigenfunktionen werden aufgezeichnet, was die nicht-Abelschen Permutationen in einem nicht-hermiteschen System mit drei Zuständen demonstriert.
„Unsere Arbeit zeigt, dass nicht-hermitesche Systeme auf die Untersuchung nicht-abelscher Phänomene angewendet werden können, und liefert den theoretischen und experimentellen Beweis für die Entwicklung multipler Zustände in nicht-hermiteschen Systemen“, fügt Ma hinzu. „Gleichzeitig ebnet es auch einen neuen Weg für die Entwicklung nicht-hermitescher Systeme in den Bereichen Akustik, Optik und Mechanik.“
Die Studie wurde veröffentlicht in National Science Review.
Weiyuan Tang et al, Experimentelle Realisierung von nicht-abelschen Permutationen in einem nicht-hermitischen System mit drei Zuständen, National Science Review (2022). DOI: 10.1093/nsr/nwac010